9、奇异辛约化、量子化与复超曲线的对偶性及阿贝尔映射

奇异辛约化、量子化与复超曲线的对偶性及阿贝尔映射

1. 奇异辛约化与量子化

在物理学和数学的交叉领域，奇异辛约化和量子化是重要的研究方向。约化方法的历史可追溯到天体力学，Jacobi 通过利用旋转对称性减少变量数量简化了开普勒问题。Meyer - Marsden - Weinstein 的一般方法为具有自由群作用和约束的系统提供了辛约化。

1.1 正则辛约化

设 (X) 是具有辛形式 (\omega) 的光滑流形，对应的泊松括号 (q(f, g) = \omega^ (df, dg))，其中 (f, g \in A)，(\omega^ ) 是余切丛上的对偶 2 - 形式。若李群 (G) 在 (X) 上作用并保持 (\omega)，(\mathfrak{g}) 是 (G) 的李代数，(\mathfrak{g}^*) 是其对偶空间。对于 (\gamma \in \mathfrak{g})，它通过向量场 (t(\gamma)) 在 (X) 上作用。由于 (G) 保持 (\omega)，形式 (t(\gamma) \vee \omega) 是闭的。

矩映射 (J: X \to \mathfrak{g}^*) 满足 (dJ(\gamma) = t(\gamma) \vee \omega)，且假设 (J) 是 (G) - 等变的，即 (J(g(x)) = ad_g(J(x)))。集合 (Y = J^{-1}(0)) 称为约束轨迹，由 (J) 的分量生成的理想 (I) 在括号 (q) 下是封闭的。

若 (G) 作用是哈密顿的，对于任意 (\gamma \in \mathfrak{g})，存在光滑函数 (H_{\gamma}) 使