25、二元组与三元组综合的统一方法及差分平坦假肢腿研究

二元组与三元组综合的统一方法及差分平坦假肢腿研究

1 二元组与三元组综合

1.1 综合的最优模型

在综合问题中，我们旨在最小化一个误差函数，同时满足一组线性和非线性等式约束，从而得到一组满足几何约束的最优二元组。

1.1.1 最小化二元组的变化

对于一个过约束的线性方程组 $[A]p = 0$，通常只能得到近似解。对于 $m$ 个奇异向量子空间 $(p_m)$ 的拟合误差 $\epsilon$ 可以量化为 $\epsilon = ([A]p_m)^T [A]p_m$，进一步可写为：
$\epsilon = \alpha_1^2 s_1 + \alpha_2^2 s_2 + \cdots + \alpha_m^2 s_m = \sum_{i = 1}^{m} \alpha_i^2 s_i$
其中，$s_i$ 是矩阵 $[A]$ 按升序排列的奇异值。

1.1.2 约束误差函数

误差函数也可以从松弛约束中创建。当线性几何约束（如位姿、直线或点约束）被松弛以进行最小化时，代数误差可以通过将 $p$ 的表达式（式 (19)）代入各自的约束方程来定义。
- 对于线性约束，代数误差可表示为：$f_1 = k_1\alpha_1 + k_2\alpha_2 + \cdots + k_m\alpha_m$，其中 $k_i$ 由二元组向量 $p$ 的参数和已知约束参数定义。
- 对于评估固定或移动枢轴到已知二次曲面距离的代数误差为：$f_2 = \sum_{i = 1, j = 1}^{i = m, j = m} k_{ij}\alpha_i\alpha_j + \sum_{i = 1}^