29、利用矩阵分解发现隐藏类型

利用矩阵分解发现隐藏类型

1. 线性代数基础

线性代数是一个广泛的数学领域，它涵盖了对直线、平面和子空间的研究，同时也关注所有向量空间的共同性质。矩阵分解的概念在很大程度上基于线性代数。

1.1 矩阵

矩阵（Matrix）一词源于拉丁语，意为“子宫”。向量可以代表用户的偏好，也能表示其他很多含义。例如有两个向量：
$v_1 = \begin{bmatrix} 1 \ 1 \ 1 \end{bmatrix}$ 和 $v_2 = \begin{bmatrix} 0 \ 2 \ 1 \end{bmatrix}$
可以将它们看作指向两个不同方向的箭头，通过这两个向量可以确定一个平面，即它们张成了一个平面。

可以用矩阵来表示两个或更多的向量，例如矩阵 $M$ 表示前面提到的向量：
$M = \begin{bmatrix} 1 & 0 \ 1 & 2 \ 1 & 1 \end{bmatrix}$
矩阵是一个由数字组成的矩形数组，由行数 $m$ 和列数 $n$ 来定义。向量是矩阵的一种特殊情况，即只有一列的矩阵。

假设为用户对向量进行评分，每个内容项对应一个维度，这意味着会涉及到数千维的向量。在千维空间中，所有向量会位于一个被称为超平面的空间里，矩阵就是描述这些平面或超平面的一种方式。

之前展示的评分矩阵 $R$ 会在六维空间中张成一种超平面，这个超平面很难想象或绘制：
$R = \begin{bmatrix} 5 & 3 & 0 & 2 & 2 & 2 \ 4 & 3 & 4 & 0 &