27、量子密码学中的纯化技术与比特承诺的不可能性

量子密码学中的纯化技术与比特承诺的不可能性

1. 量子抛硬币的纯化

在量子协议中，抛硬币是一种简单且基础的操作。假设在量子协议里有一个指令要求抛掷一个有偏硬币 (C(p))，其结果如下：
- 以概率 (p) 得到 (1)；
- 以概率 (1 - p) 得到 (0)。

与经典情况不同，量子系统可以在不强制确定结果的情况下将抛硬币的结果存储在量子存储器中。具体做法是准备一个处于如下状态的量子寄存器 (\Psi_{C(p)})：
(|\Psi_{C(p)}\rangle = \sqrt{p}|1\rangle + \sqrt{1 - p}|0\rangle)

当使用测量 (M_+) 对 (|\Psi_{C(p)}\rangle) 进行测量时，以概率 (1 - p) 得到结果 (P_0)，以概率 (p) 得到结果 (P_{\frac{\pi}{2}})。只要不进行测量，寄存器 (|\Psi_{C(p)}\rangle) 就会保持两种可能性的叠加态。

假设一个量子寄存器处于混合态 (\rho \in H)，(V_0) 和 (V_1) 是作用于 (H) 中状态的两个酉变换。利用量子抛硬币和酉变换 (V) 可以对以下指令序列进行纯化：
1. 选择 (r \in {0, 1})，使得 (P(r = 1) = p)；
2. 对任意密度算符 (\rho \in H) 应用 (V_r)。

酉变换 (V \in H^2 \otimes H) 定义如下（设 (E = {e_1, \ldots, e_m}) 是 (H) 的一组正交基）：
(V : |0\rangle \otimes |e_1\rangle \