23、密码学哈希函数的现状与发展

密码学哈希函数的现状与发展

1. 基于格和乘法背包的哈希函数

在密码学哈希函数的研究中，基于格的哈希函数有着独特的理论基础。近似格中最短向量到多项式因子的问题是困难的，Goldreich 等人证明了相关函数具有抗碰撞性。此外，还提出了多种乘法背包哈希函数，这类函数使用非阿贝尔群的乘法表示。最早的提案可追溯到 1977 年，但很快被证明不安全。近期的例子有 Zémor 以及 Tillich 和 Zémor 提出的方案，其安全性基于在特定群中寻找短因式分解的困难性，在某些情况下甚至能证明碰撞消息之间汉明距离的下界。不过，对于这些提案（特定参数下）也存在攻击方法。

基于格和背包的哈希函数存在一个潜在问题，即在生成向量时可能插入陷门。因此，建议实例生成是可重现的，例如通过使用伪随机字符串生成器或哈希函数。

2. 增量哈希函数

增量哈希函数是一类具有特殊性质的哈希函数。如果一个哈希函数对输入 x 进行了求值，当对 x 进行小的修改得到 x’ 时，能够以与 x 和 x’ 之间修改量成比例的时间更新 h(x)，而无需从头重新计算 h(x’)，则称该哈希函数为增量哈希函数。具有增量性质的函数同时也具有可并行性。

Bellare 等人首次引入了这一概念，并基于素数阶群中的指数运算提出了首个方案。随后，Bellare 和 Micciancio 提出了改进的构造，包含两个步骤：
- 随机化步骤 ：将消息分成块，使用常规的抗碰撞哈希函数（限制为固定长度输入）对每个块（连同其索引）进行哈希。在分析中，该哈希函数被视为“理想”哈希函数或随机预言机。
- 组合步骤 ：使用