15、常微分方程与线性规划问题的数值解法

常微分方程与线性规划问题的数值解法

一、常微分方程的非标准有限差分方法

1.1 精确有限差分格式

对于形如 $\frac{du}{dt} = \alpha u(t) - \beta u^n(t), u(t_0) = u_0, n \geq 2$ 的微分方程，构建精确有限差分格式的步骤如下：
- 分母函数 $\varphi$ 的推导 ：从线性项 $\alpha u(t)$ 得出 $\varphi(h, \alpha) = \frac{1 - e^{-\alpha h}}{\alpha}$。
- 非线性项的非局部近似 ：对非线性项 $-\beta u^n(t)$ 采用非局部近似 $-\frac{\beta(n - 1)u_k^{n - 1}}{u_{k + 1}^{n - 1} + u_{k + 1}^{n - 2}u_k + \cdots + u_{k + 1}u_k^{n - 2} + u_k^{n - 1}}$。
- 精确有限差分格式 ：$\frac{u_{k + 1} - u_k}{\frac{1 - e^{-\alpha h}}{\alpha}} = \alpha u_k - \frac{\beta(n - 1)u_k^{n - 1}}{u_{k + 1}^{n - 1} + u_{k + 1}^{n - 2}u_k + \cdots + u_{k + 1}u_k^{n - 2} + u_k^{n - 1}}$。

当 $n = 2$ 时，得到逻辑斯谛方程 $\frac{du}{dt} = \alpha u(t) - \beta