【 POJ 1088】 滑雪 动态规划

滑雪

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Description

Michael喜欢滑雪百这并不奇怪， 因为滑雪的确很刺激。可是为了获得速度，滑的区域必须向下倾斜，而且当你滑到坡底，你不得不再次走上坡或者等待升降机来载你。Michael想知道载一个区域中最长底滑坡。区域由一个二维数组给出。数组的每个数字代表点的高度。下面是一个例子 

 1  2  3  4 5
16 17 18 19 6
15 24 25 20 7
14 23 22 21 8
13 12 11 10 9

一个人可以从某个点滑向上下左右相邻四个点之一，当且仅当高度减小。在上面的例子中，一条可滑行的滑坡为24-17-16-1。当然25-24-23-...-3-2-1更长。事实上，这是最长的一条。

Input

输入的第一行表示区域的行数R和列数C(1 <= R,C <= 100)。下面是R行，每行有C个整数，代表高度h，0<=h<=10000。

Output

输出最长区域的长度。

Sample Input

5 5
1 2 3 4 5
16 17 18 19 6
15 24 25 20 7
14 23 22 21 8
13 12 11 10 9

Sample Output

25

题意：就是有一个二维矩阵，让你求出最长下降子序列。

题解：其实笔者写这道题，也才开始学动态规划，也许是笔者天赋不行，这道题笔者想了三天。一开始我们还是先分析一下，如果从当前点滑下取得最优解，如果该点可以滑向周围下一点，那么下一点的最优解为当前点的最优解减1，如果不是，那么下一点存在另一个比当前最优解更优的解，那么+1就可以得到当前点更好的最优解，即当前点不是最优解，矛盾，故该问题满足最优子结构，对于重叠子问题，计算从某一点滑下的最优解一定算出周围4个点的最优解，对于每一点都是如此，有很多点都会被重回计算多次，故满足重叠子问题。写代码前，我们需要先考虑如何存储状态和状态转移，我们用dp[i][j]表示从第i行j列滑下取得最大高度，如果可以向周围4个点滑下，那么可以由4个点的最优解的最大值+1转移过来，由于算某个问题时，其子问题还没解决，所以我们需要使用带备忘录的自顶向下的递归。

#include<cstdio>
#include<cstring>
using namespace std;
const int maxn=100+7;
int a[maxn][maxn];   //存储地图
int dp[maxn][maxn];   //存储状态 dp[i][j] 表示从i行j列滑下的最大高度
int ans[maxn][maxn];   //存储每一个点的最优解
int n,m;
int dir[4][2]={{0,1},{0,-1},{-1,0},{1,0}};          //四个方向
int max(int x,int y)     //最大值函数
{
    if(x>y)return x;
    else return y;
}
int sk(int x,int y) 
{
    if(dp[x][y]>0)return dp[x][y];     //如果已经计算过子问题 直接返回子问题的解
    int sum=1;
    for(int i=0;i<4;i++){             //四个方向  写多个方向问题时 最好使用for循环 
        int nowx=x+dir[i][0];         //减少代码量
        int nowy=y+dir[i][1];
        if(nowx>=1&&nowx<=n&&nowy>=1&&nowy<=m&&a[x][y]>a[nowx][nowy])
        sum=max(sum,sk(nowx,nowy)+1);      //求当前点的最优解
    }
    dp[x][y]=sum;
    return sum;
}
int main()
{
    while(scanf("%d %d",&n,&m)==2){
        for(int i=1;i<=n;i++){
            for(int j=1;j<=m;j++){
                scanf("%d",&a[i][j]);
                dp[i][j]=-1;
            }
        }
        int mx=-1;
        for(int i=1;i<=n;i++){
            for(int j=1;j<=m;j++){
                ans[i][j]=sk(i,j);
                if(ans[i][j]>mx)mx=ans[i][j];
            }
        }
        printf("%d\n",mx);
    }
    return 0;
}