算法笔记离散化(整数离散化)

最新推荐文章于 2025-12-25 09:34:26 发布

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该博客介绍了如何使用离散化技术处理大范围数值的问题，特别是针对一个包含大量不同数值但数量有限的集合。通过排序、去重，将数值映射为连续的下标，然后利用二分查找实现高效计算。文章以区间和的计算为例，展示了在处理区间求和查询时，离散化和前缀和如何结合以提高效率。输入和输出格式、数据范围以及C++代码实现均被详细阐述，旨在帮助读者理解并应用这种方法。

离散化(整数离散化)

处理的问题: 数值很大, 个数很小 (例如, 一堆数的范围为 $10^{9} , 10^{9}]$ , 共 $10^{5}$ 个数

核心思路

将这些离散的数映射成一个下标从0开始的连续的自然数

例如: a[5] = {1, 3, 100, 2000, 1e5}可以离散化为他的下标, 即0,1,2,3,4

注意点:

a[i]中可能包含相同的元素, 所以需要去重

vector<int> alls;
sort(alls.begin(), alls.end());
alls.erase(unique(alls.begin(), alls.end()), alls.end());

如何需要快速的算出a[i]离散化以后的数 -> 二分

int find(int x) {
    int l = 0, r = alls.size() - 1;
    while (l < r) {
        int mid = l + r >> 1;
        if (alls[mid] >= x) r = mid;
        else l = mid + 1;
    }
    return l + 1;
}

例题

区间和

假定有一个无限长的数轴，数轴上每个坐标上的数都是 $0$ 。

现在，我们首先进行 $n$ 次操作，每次操作将某一位置 $x$ 上的数加 $c$ 。

接下来，进行 $m$ 次询问，每个询问包含两个整数 $l$ 和 $r$ ，你需要求出在区间 $[l, r]$ 之间的所有数的和。

输入格式
第一行包含两个整数 $n$ 和 $m$ 。

接下来 $n$ 行，每行包含两个整数 $x$ 和 $c$ 。

再接下来 $m$ 行，每行包含两个整数 $l$ 和 $r$ 。

输出格式
共 $m$ 行，每行输出一个询问中所求的区间内数字和。

数据范围

$10^{9}≤x≤10^{9},$
$1≤n,m≤10^{5},$
$10^{9}≤l≤r≤10^{9},$
$- 10000 \leq c \leq 10000$

输入样例：

输出样例：

8
0
5

c++ 代码

#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<vector>
using namespace std;

typedef pair<int, int> PII;

const int N = 300010;

int n, m;
int a[N];
int s[N];

vector<int> alls;
vector<PII> add, query;

int find(int x) {
    int l = 0, r = alls.size() - 1;
    while (l < r) {
        int mid = l + r >> 1;
        if (alls[mid] >= x) r = mid;
        else l = mid + 1;
    }
    return l + 1;
}

int main() {
    cin >> n >> m;
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        int x, c;
        cin >> x >> c;
        add.push_back({x, c});
        alls.push_back(x);
    }

    for (int i = 0; i < m ;i++) {
        int l, r;
        cin >> l >> r;
        query.push_back({l, r});
        alls.push_back(l);
        alls.push_back(r);
    }
		// 离散化 + 去重
    sort(alls.begin(), alls.end());
    alls.erase(unique(alls.begin(), alls.end()), alls.end());

    for (auto item : add) {
        int x = find(item.first);
        a[x] += item.second;
    }

    for (int i = 1; i <= alls.size(); i++) s[i] = s[i - 1] + a[i];

    // 处理询问
    for (auto item : query) {
        int l = find(item.first), r = find(item.second);
        cout << s[r] - s[l - 1] << endl;
    }
    return 0;
}