Non-Local Low-Rank Normal Filtering for Mesh Denoising

最新推荐文章于 2022-05-24 11:32:07 发布

gg_huaer

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文章标签：网格去噪非局部低阶滤波向量协方差矩阵

提出一种非局部低阶法向滤波去噪方法，通过引导网格及低阶恢复模型去除三角网格噪声。该方法首先利用NPC探测器和G-NPC距离选择相似顶点邻域，然后构建NPG矩阵，并通过低秩恢复模型滤波法向。

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这是在 Computer Graphics Forum 2018上的一篇文章

Li X Z, Zhu L, Fu C W, Heng P A. Non-local low-rank normal filtering for mesh denoising[J]. Computer Graphics Forum, 2018, 37(7): 155-166

这篇文章主要讲了一种非局部的低阶法向滤波去噪方法，其中用到了引导网格。

该方法分为三个部分：

一、用本文提出的G-NPC探测器找出与当前点邻域最为相似的点邻域。

首先，对噪声网格M上的每一个点 $v_{i}$ ,，定义集合 $N_{k}$ ，其中的点的局部邻域与 $v_{i}$ ,的局部邻域相似。为了确定两个顶点是否相似，最基础的想法是提取出顶点的局部邻域并计算两者的特征差异。由于网格M包含噪声，所以构造一个好的局部检测算子有些困难。协方差矩阵在图像处理中取得了很好的效果。受其启发，定义一个法向面片协方差(NPC)探测器来描述给定点 $v_{i}$ 的局部特征。在数学中， $v_{i}$ 的NPC是一个3*3的矩阵：

$C(v_{i})=\frac{1}{N_{p}}\sum_{l=1}^{N_{p}}(n_{l}-\bar{n_{i}})(n_{l}-\bar{n_{i}})^{T}$ , （1）
其中， $n_{l}$ 是顶点 $v_{i}$ 邻域集 $NP(v_{i})$ 的第 $l$ 个元素。 $\bar{n}_{_{i}}$ 是 $NP(v_{i})$ 中顶点向量的平均向量。图中解释了协方差矩阵的具体由来。

计算两个协方差矩阵的距离并不简单。因为协方差矩阵是黎曼流形，我们不能直接用欧式距离度量。(参考KARACAN L., ERDEM E., ERDEM A.: Structure-preserving imagesmoothingviaregioncovariances. ACMTrans.onGraphics(SIGGRAPH Asia) 32, 6 (2013), 176:1–11.), 定义 $v_{i}$ 和 $v_{j}$ 的NPC的距离为：

$d_{NPC}$ 的值越小，邻域 $NP(v_{i})$ 和 $NP(v_{j})$ 的相似度越大。

为了进一步提高相似顶点选取的准确性，利用预处理过的网格 $\bar{M}$ 作为引导网格计算引导法向协方差(G-NPC)距离：

其中， $d_{G}(v_{i},v_{j})=d_{NPC}(\bar{v}_{i}, \bar{v_{j}}})$ , $\bar{v}_{i},\bar{v_{j}}$ 是引导网格 $\bar{M}$ 中的顶点。引导网格 $\bar{M}$ 是由双边法向滤波产生的。(ZHENG Y., FU H., AU O. K.-C., TAI C.-L.: Bilateralnormal ﬁltering for mesh denoising. IEEE Trans. Vis. & Comp. Graphics 17, 10 (2011), 1521–1530. 1, 2, 3, 4, 8, 10 )由于引导网格中有些信息已经丢失，所以并没有只用引导网格求矩阵的相似性。本文并没有在全网格中寻找相似点，而是在顶点的 $N_{r}$ 环邻域中搜索。在这里，经验式的设定 $N_{p}=50$ , $N_{r}=8$ .为了更好的利用双边法向滤波获取引导网格，设置了迭代次数为10。 $\sigma _{s}=\sigma _{m}$ , $\sigma _{m}$ 的值后面会讨论到。

二、用低阶恢复模型对顶点法向做滤波

现在，我们假设相似顶点已经用上述 $G-NPC$ 方法找到。令 $N_{k}=\left \{ v_{ref}, v_{1}, v_{2}, ..., v_{N_{k-1}} \right \}$ , 即 $N_{k}$ 中包含与 $v_{ref}$ 最相似的点。现在计算法向域面片组(NPG)矩阵 $\Omega _{M}$ 来处理顶点邻域顶点向量，包括 $NP(v_{ref})$ ,..., $NP(v_{v_{N_{k-1}}})$ 。

1.包装 $\Omega _{M}$ 中的顶点向量

如上图所示， $\Omega _{M}$ 中每一列是每个相似点局部邻域顶点的法向，一共有han位置，得到去噪后网格 $N_{k}$ 个相似点，所以共有 $N_{k}$ 列，每组局部邻域点包含 $N_{p}$ 个顶点，所以共有3 * $N_{p}$ 行。

现在对 $\Omega _{M}$ 中每个顶点的邻域中顶点进行重新排列。先将 $v_{ref}$ 包装，再对后面 $N_{p-1}$ 个点保障。这里提出了三种方法：

(1)利用NPC矩阵，使用基于环的NPC顺序方案。首先，定义一个起始点，这个点的NPC矩阵中所有元素的绝对值之和是最大的。这样，我们确定了一个几何结构较为明显的顶点作为起始点。然后，在该点，以 $v_{ref}$ 为中心，逆时针旋转排序。之后 $N_{k-1}$ 个相似顶点以同样地方式排列。

(2)使用随机排序方式。对 $N_{k}$ 个相似顶点，每个顶点中的邻域顶点都使用随机排序。

(3)对当前顶点 $v_{ref}$ 使用方法(1),对其余的 $N_{k-1}$ 个顶点使用方法(2)。

实验中，方法(1)中NPG结果较好。至此， $\Omega _{M}$ 中的顶点向量已经被包装为NPG矩阵。

2.计算低阶面片恢复模型

令 $\Omega _{M}$ 和 $\Omega _{D}$ 分别为同一个当前顶点 $v_{ref}$ 的关于输入网格和去噪后网格的NPG矩阵。

$\Omega _{D}$ 由于没有噪声，其中相似点较多，所以应该是低阶的。 $\Omega _{M}$ 由于具有噪声阶数较大。这一观察启发我们应该将网格去噪转化为

$\Omega _{M}$ 上的低阶恢复问题。由噪声模型的矩阵 $\Omega _{M}$ 到无噪声模型的矩阵 $\Omega _{D}$ 的低阶恢复，最小化下述优化问题：

其中， $\mu>0$ 是一个权值，本文所有实验中设置其为1。rank( $\Omega _{D}$ )表示 $\Omega _{D}$ 的秩，F表示Frobenius范数。

秩最小化的求解时很困难的。这里，构造截断 $\gamma$ 范数 $\left \| . \right \|_{tg}$ :

这里 $\gamma$ 取正值。 $\lambda$ 是矩阵 $\Omega _{D}$ 的最小奇异值的个数， $\sigma _{i}(\Omega _{D})$ 是矩阵 $\Omega _{D}$ 的奇异值。一般来说，大的奇异值比小的奇异值重要，因为它们代表了组成元素的能量的大小，这也通常和输入网格的特征有关。这里的 $\gamma$ 范数的作用有:(i)使大的奇异值和矩阵的秩较比核范数更相近。(ii)忽略很小的特征值，这些特征值通常和噪声有关，在我们的低阶恢复中有效的避免了噪声干扰。因此我们的 $\gamma$ 范数可以更好地保持特征。一般设置 $\gamma=0.01$ ， $\lambda =10$ 。