NKOI 3691 树上染色

                                                                           树上涂色
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问题描述
  给出一棵有n个节点(编号1到n)的树，开始时每个节点都没有颜色。现在有A和B两种颜色，给第x号节点涂上A颜色需要花费Ax块钱，给x号节点涂上B颜色需要花费Bx块钱。
  如果i,j两个节点相邻，也就是i和j之间有边直接相连。若i号点已经涂成了A色，那么给j号点涂A色只需Aj/2块钱。若i号点已经涂成了B色，那么给j号点涂B色只需Bj/2块钱。也就是说，如果相邻点已经被涂了相同的颜色，当前点涂这种颜色的时候只需要一半的费用。

  现在需要将树上所有点都涂上颜色，问最少需要多少费用？

输入格式
第一行，一个整数n，表示节点总数
第二行，n个空格间隔的整数，分别表示给1到n号节点涂上A颜色所需费用
第三行，n个空格间隔的整数，分别表示给1到n号节点涂上B颜色所需费用
接下来n-1行，每行两个整数i和j，表示i和j节点间有边直接相连

输出格式
一行，一个整数，所需最小费用

样例输入 1
3
1 2 5
3 8 1
1 2
1 3

样例输出 1
3

样例输入 2
6
1 40 2 5 6 10
4 14 4 2 8 30
1 2
1 3
2 4
4 5
4 6

样例输出 2
25

提示
1<=n<=100

0<=Ax,Bx<=10000

状态：

f[i][0]:   以i为根的子树，涂上颜色的最小代价。其中i涂A颜色，与i连通的同色块（在子树内的）中，所有点都是以半价涂色的(即没有“涂色起点”)。
f[i][1]:  以i为根的子树，涂上颜色的最小代价。其中，i涂A颜色，与i连通的同色块中，存在一个节点是以全部代价涂色的(即有“涂色起点”)。
g[i][0]:  以i为根的子树，涂上颜色的最小代价。其中i涂B颜色，与i连通的同色块中，所有点都是以半价涂色的。
g[i][1]:  以i为根的子树，涂上颜色的最小代价。其中i涂B颜色，与i连通的同色块中，存在一个节点是以全部代价涂色的。

f[i][0]= Sum{ min( f[ j][0] , g[ j][1] ) }    j为i的所有儿子节点

1.为什么不讨论f[j][1]呢？

因为f[i][1]表示i涂颜色A，且子树中与之相连的同色连通块中都没有全价涂A色的点，所以只能讨论f[j][0];

2.为什么不讨论g[j][0]呢？

 因为g[j][0]表示j为根的子树中，与j同色的连通块全是半价的B颜色点。而j的父亲是涂的A颜色，与j连通的同色块中又没有全价的B色节点，那该同色连通块的颜色是从何点开始涂起的呢？其中必须有一个点事涂的全价B色，与g[j][0]矛盾，所以不用讨论g[j][0]。

f[i][0]:   以i为根的子树，涂上颜色的最小代价。其中i涂A颜色，与其连通的同色块（在子树内的）中，所有点都是以半价涂色的(即没有“涂色起点”)。
f[i][1]:  以i为根的子树，涂上颜色的最小代价。其中，i涂A颜色，与其连通的同色块中，存在一个节点是以全部代价涂色的(即有“涂色起点”)。
g[i][0]，g[i][1]表示i涂B颜色，定义与f[ ][ ]类似

f[i][0]= Sum{ min( f[j][0] , g[j][1] ) }    j为i的所有儿子节点

f[i][1]= min{
           f[i][0]+ A[i]/2            //i涂全价A色
           f[i][0]+ ChaJia           //i的一个同色连通子树中存在节点涂全价A色
      }
     ChaJia=min{ f[j][1]-min(f[j][0] ,  g[j][1] )  }   j为i的所有儿子节点

说明：
f[i][1]表示i为根的字数中，i涂A色，且与i同色的连通块中，有一个点是全价A的最优方案。 我们可以对i涂全价A，也可以使与A同色连通的某棵子树中存在全价A的点。
而f[i][0]表示i为根的子树中，i涂A色，且与i同色的连通块全是半价A的最优方案。求f[i][1]只需在f[i][0]上做调整
如果我们直接将i涂成全价的A，即是f[i][0]+A[i]/2
如果我们不把i涂成全价的A，而是选一棵与i同色连通的且存在全价A的子树替换掉原来的子树，即是f[i][0]+ChaJia 这棵子树原来加入f[i][0]的状态是min(g[j][1],f[j][0]),而新替换进的状态是f[j][1],两者之差即为替换产生的差价

最后注意，由于有除法所以有精度差，因此出数据的时候一定要非常，非常注意

#include<cstdio>
#include<iostream>
using namespace std;
const int inf=1e9;
int n,a[205],b[205];
int f[205][5],g[205][5];
int NEXT[205],END[205],LAST[205],cnt;
void insert(int a,int b){  
    END[++cnt]=b;  
    NEXT[cnt]=LAST[a];  
    LAST[a]=cnt;  
}
void dp(int p,int fa){
	int cj1=inf,cj2=inf,temp,i,j;
	bool leaf=true;
	for(i=LAST[p],j=END[i];i;i=NEXT[i],j=END[i]){
		if(j==fa)continue;
		dp(j,p);
		leaf=false;
		temp=min(f[j][0],g[j][1]),f[p][0]+=temp,cj1=min(cj1,f[j][1]-temp);
		temp=min(g[j][0],f[j][1]),g[p][0]+=temp,cj2=min(cj2,g[j][1]-temp);
	}
	if(leaf){
		f[p][0]=a[p]/2,f[p][1]=a[p];
		g[p][0]=b[p]/2,g[p][1]=b[p];
	}
	else {
		f[p][0]+=a[p]/2,f[p][1]=f[p][0]+min(a[p]/2,cj1);
		g[p][0]+=b[p]/2,g[p][1]=g[p][0]+min(b[p]/2,cj2);
	}
}
int main(){
	scanf("%d",&n);
	int i,x,y,j;
	for(i=1;i<=n;i++)
	    scanf("%d",&a[i]);
	for(i=1;i<=n;i++)
	    scanf("%d",&b[i]);
	for(i=1;i<n;i++){
		scanf("%d%d",&x,&y);
		insert(x,y);
		insert(y,x);
	}
	dp(1,0);
	cout<<min(f[1][1],g[1][1]);
}