本文详细解析了交叉熵损失函数在深度学习中的应用，包括二分类与多分类问题的处理方式，以及如何避免梯度消失问题。同时介绍了PyTorch中实现交叉熵损失的函数。
关于熵、KL散度、交叉熵的讲解在这一篇文章中
一个二项分布，随机变量只有两种可能值，所以是一个二分类。二分类的交叉熵形式： − y l o g y ^ − ( 1 − y ) l o g ( 1 − y ^ ) ( 1 ) -ylog\hat{y}-(1-y)log(1-\hat{y})(1) −ylogy^−(1−y)log(1−y^)(1) 其中 y ^ \hat{y} y^是输出值在0-1之间。对于批量样本 ( x 1 , y 1 ) , ( x 2 , y 2 ) . . . {(x_1,y_1),(x_2,y_2)...} (x1,y1),(x2,y2)...则可以对交叉熵求和或者求均值： ∑ i − y i l o g y i ^ − ( 1 − y i ) l o g ( 1 − y i ^ ) ( 2 ) \sum_{i}-y_ilog\hat{y_i}-(1-y_i)log(1-\hat{y_i})(2) i∑−yilogyi^−(1−yi)log(1−yi^)(2)，注意公式（1）是两个交叉熵和的形式，因为随即变量有两个可能的值，一个概率为 y ^ \hat{y} y^，一个概率为 1 − y ^ 1-\hat{y} 1−y^。（这里我们将标签值y视作先验分布， y ^ \hat{y} y^为模型分布）
pytorch中 class torch.nn.BCELoss(weight=None, size_average=None, reduce=None, reduction=‘elementwise_mean’) 表示求一个二分类的交叉熵。它的loss如下：
l ( x , y ) = L = { l 1 , l 2 , . . . , l n } , 其 中 l n = − w n [ y n l o g y n ^ + ( 1 − y n ) l o g ( 1 − y n ^ ) ] l(x,y)=L=\{l_1,l_2,...,l_n\},其中l_n=-w_n[y_nlog\hat{y_n}+(1-y_n)log(1-\hat{y_n})] l(x,y)=L={l1,l2,...,ln},其中ln=−wn[ynlogyn^+(1−yn)log(1−yn^)]，这里n表示批量大小。 w n w_n wn表示权重。
当参数reduce设置为 True，且参数size_average设置为True时，表示对交叉熵求均值，当size_average设置为Flase时，表示对交叉熵求和。参数weight设置的是 w n w_n wn，其是一个tensor且size与批量数一样(不设置时可能都为1)。目标值 y y y的范围是0-1之间。输入输出的维度都是 （ N ， ∗ ） （N，*） （N，∗），N是批量数，*表示目标值维度。
为什么是用交叉熵作为损失函数？
在深度学习中我们常用的损失函数是二次函数 L = ( y − y ^ ) 2 2 ( 3 ) L=\frac{(y-\hat{y})^2}{2} (3) L=2(y−y^)2(3),若激活函数使用的是sigmoid函数，则 y ^ = σ ( z ) \hat{y}=\sigma(z) y^=σ(z)，其中 z = w x + b z=wx+b z=wx+b。采用链式法则求导，则有：
∂ L ∂ w = ( y ^ − y ) σ ( z ) ′ x \frac{\partial L}{\partial w}=(\hat{y}-y){\sigma(z)}'x ∂w∂L=(y^−y)σ(z)′x ∂ L ∂ b = ( y ^ − y ) σ ( z ) ′ \frac{\partial L}{\partial b}=(\hat{y}-y){\sigma(z)}' ∂b∂L=(y^−y)σ(z)′
可以看出梯度都与sigmoid函数的梯度有关，如下图所示，sigmoid函数在两
端的梯度均接近0，这导致反向传播的梯度也很小，这就这就不利于网络训练，这就是 梯度消失问题 。
再来看看以交叉熵作为损失函数.对 1 n ∑ i − y i l o g y i ^ − ( 1 − y i ) l o g ( 1 − y i ^ ) ( 2 ) \frac{1}{n}\sum_{i}-y_ilog\hat{y_i}-(1-y_i)log(1-\hat{y_i})(2) n1i∑−yilogyi^−(1−yi)log(1−yi^)(2)求导，可得： ∂ L ∂ w = − 1 n ∑ i ( y σ ( z ) − 1 − y 1 − σ ( z ) ) ∂ σ ∂ w = − 1 n ∑ i ( y σ ( z ) − 1 − y 1 − σ ( z ) ) σ ′ x \frac{\partial L}{\partial w}=-\frac{1}{n}\sum_i(\frac{y}{\sigma(z)}-\frac{1-y}{1-\sigma(z)})\frac{\partial \sigma}{\partial w}=-\frac{1}{n}\sum_i(\frac{y}{\sigma(z)}-\frac{1-y}{1-\sigma(z)}) {\sigma}'x ∂w∂L=−n1i∑(σ(z)y−1−σ(z)1−y)∂w∂σ=−n1i∑(σ(z)y−1−σ(z)1−y)σ′x 由于 σ ( z ) = 1 / ( 1 + e − z ) \sigma(z)=1/(1+e^{-z}) σ(z)=1/(1+e−z)所以最终得到： ∂ L ∂ w = 1 n ∑ i x ( σ ( z ) − y ) \frac{\partial L}{\partial w}=\frac{1}{n}\sum_i x(\sigma(z)-y) ∂w∂L=n1i∑x(σ(z)−y)而对偏置的导数也等于 ∂ L ∂ b = 1 n ∑ i ( σ ( z ) − y ) \frac{\partial L}{\partial b}=\frac{1}{n}\sum_i (\sigma(z)-y) ∂b∂L=n1i∑(σ(z)−y)可以看见使用交叉熵作为损失函数后，反向传播的梯度不在于sigmoid函数的导数有关了。这就从一定程度上避免了梯度消失。
若是遇到多分类问题怎么使用交交叉熵呢？
比如我们有3个类别，那么我们通过softmax得到 y ^ = [ 0.2 , 0.5 , 0.3 ] \hat{y}=[0.2,0.5,0.3] y^=[0.2,0.5,0.3]的到的一个一个样本的分类结果，这个结果的通俗解释就是：为第一类的概率为0.2，为第二类的概率为0.5,为第三类的结果过0.3。
假设这个样本真实类别为第二类，那么我们希望模型输出的结果过应该是 y = [ 0 , 1 , 0 ] y=[0,1,0] y=[0,1,0]，这个就是标签值。那么损失函数可以使用交叉熵：
L
=
−
∑
k
3
y
k
l
o
g
(
y
^
)
L=-\sum_k^3y_klog(\hat{y})
L=−k∑3yklog(y^)，可以看见实际上这个求和只有一项。也就是
L
=
−
l
o
g
(
0.5
)
L=-log(0.5)
L=−log(0.5)。
pytorch中提供了多分类使用的损失函数nn.CrossEntropyLoss()使用的原理，与这里类似。
Neural Network and Deep Learning ，Michael Nielsen（中文）
pytorch官方文档
http://www.cnblogs.com/pinard/p/6437495.html
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