51NOD算法马拉松11 B君的竞技场

最新推荐文章于 2019-05-03 08:47:14 发布

geng4512

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分类专栏：数学

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本文讨论了一道比赛中的难题，通过引入积分法，将概率问题转化为积分计算，从而简化了解决过程。详细解释了如何利用多项式表示获胜概率，通过递推公式和积分计算得出最终答案。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

传送门
这题我在比赛的时候竟然没有想出来，真是……
这道题我们可以想一想怎么搞定获胜的概率p。
我们发现再怎么这个p都是搞不了的。所以我们可以积一下分，然后就可以不用去管p了。我们要做的就是求出一个关于p的多项式。
我们又发现，对于整体的期望，并不好直接表示出来（是可以表示出来的）。所以我们就想一想怎么去递推吧。
设 $f(i, j)$ 表示赢了i场，输了j场的概率（一个关于p的多项式）。那么我们就可以列出一个式子：

f (i, j) = f (i - 1, j) * p + f (i, j - 1) * (1 - p)

$f(i,j)=f(i-1,j)*p+f(i,j-1)*(1-p)$
然后，我们枚举所有的

f(x,i) $f(x, i)$ 和所有的

f(i,y) $f(i, y)$ 并求关于它们的从0到1的定积分。加起来就是我们的答案了！

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <cmath>
#define MAXN 45
struct Pol {
    double a[MAXN];
    Pol(){ memset(a, 0, sizeof a); }
    Pol operator * (const Pol&B) {
        Pol c; memset(c.a, 0, sizeof c.a);
        for(int i = 0; i < MAXN; ++ i)
            for(int j  = 0; j <= i; ++ j) {
                c.a[i] += a[i-j] * B.a[j];
            }
        return c;
    }
    Pol operator + (const Pol&B) {
        Pol c;
        for(int i = 0; i < MAXN; ++ i) c.a[i] = a[i] + B.a[i];
        return c;
    }
    void getPre() {//积分
        for(int i = MAXN-1; i > 0; -- i) a[i] = a[i-1]/i;
        a[0] = 0;
    }
    double Get_Ans() {
        getPre();
        double ans = 0;
        for(int i = 1; i < MAXN; ++ i) ans += a[i];
        return ans;
    }
}f[MAXN][MAXN], p, _p;
int n, m;
int main() {
    scanf("%d%d", &n, &m);
    f[0][0].a[0] = 1; p.a[1] = 1; _p.a[0] = 1; _p.a[1] = -1;
    for(int i = 0; i < n; ++ i)
        for(int j = 0; j < m; ++ j) {
            if(i > 0) f[i][j] = f[i-1][j] * p;
            if(j > 0) f[i][j] = f[i][j] + (f[i][j-1] * _p);
        }
    double ans = 0;
    for(int i = 0; i < m; ++ i) {
        f[n][i] = f[n-1][i] * p;
        ans += f[n][i].Get_Ans() * n;
    }
    for(int i = 0; i < n; ++ i) {
        f[i][m] = f[i][m-1] * _p;
        ans += f[i][m].Get_Ans() * i;
    }
    printf("%lf\n", ans);
}