知识体系_统计学_02_描述性统计

geilip

已于 2025-04-06 11:26:11 修改

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文章标签：统计学描述性统计数值法图表法

于 2025-01-24 23:16:36 首次发布

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对数据的描述性统计，包括数值法（包括对数据的集中程度、离中程度和分布形态、相对位置度量）、表格法、图形法

⚠️集中程度反映的是各数据向其中心值靠拢或聚集的程度；离中程度反映的是数据的离散程度，远离中心值的程度；分布形态反映的是分布的偏度和峰度，是相较于标准正态分布的偏度和峰度

⚠️数值法是对数据的概括性度量，由于是对数据的高度概括，所以一些数据细节反而体现不出来

1 数值方法

1.1 单变量

1.1.1 集中程度

1.1.1.1 平均数

简单算术平均数 $\bar{x}=\frac{x_{1}+x_{2}+x_{3}+...+x_{n}}{n}$ （容易受离群值，即极小值和极大值的影响）

加权平均数 $\bar{x_{w}}=\frac{w_{1}*x_{1}+w_{2}*x_{2}+...+w_{n}*x_{n}}{w_{1}+w_{2}+...+w_{n}}$ （ $w_{1}$ 至 $w_{n}$ 是权重）

截断均值：简单算术平均数的值容易受极端值影响。在很多情况下，我们需要消除极端值对平均数的影响，例如，在比赛中的评分要去掉若干个最高分和最低分，再计算剩余数据的平均值，这样计算得到的就是截尾平均数。 $\bar{X_{\alpha }}=\frac{X_{(n\alpha +1)}+X_{(n\alpha +2)}+...X_{(n-n\alpha )}}{n-2n\alpha }$ (其中 $\alpha$ 表示截尾系数， $\alpha =\frac{m}{n}$ ，n表示数据个数，m表示去掉的数据个数， $X_{(1)}$ 至 $X_{(n)}$ 表示将数据按升序排列后的顺序序列）

几何平均数： $\bar{X_{g}}=\sqrt[n]{x_{1}*x_{2}*...*x_{n}}$ ，常用于计算平均增长率或利率

调和平均数： $\bar{X_{h}}=\frac{n}{\frac{1}{x_{1}}+\frac{1}{x_{2}}+...+\frac{1}{x_{n}}}$ ，常用于计算平均速度或电阻

⚠️算术平均数>=几何平均数>=调和平均数

1.1.1.2 中位数

将n个数据按从小到大排列后分为2等份，处于中间分割点的数值为中位数

1.1.1.3 众数

一组数据中出现次数最多的数值，若一组数据每个值出现的次数都一样，则该组数据没有众数，一组数据可以有多个众数

1.1.2 离散程度

1.1.2.1 最小值/最大值/极差

最小值：一组数据中的最小值

最大值：一组数据中的最大值

极差：也称全距，最大值-最小值

1.1.2.2 分位数

将n个数据按从小到大排列后分为k等份，处于分割点的数值就称为分位数

四分位数（k=4）比较常用。四分位数按照数值从小到大的顺序分别称为第一四分位数、第二四分位数和第三四分位数。第二四分位数位于所有数据的中间位置，也叫中位数

四分位距：第三四分位数与第一四分位数的差值，数据越向中位数集中，四分位距就越小

⚠️分位数求解法则：假设一组数据有n个，从小到大排序分为k等分，则对应有k-1个分割点，求第i个切割点的值：(n/k)*i若是整数，则切割点的值为(n/k)*i和 (n/k)*i +1 这两个数据的平均数，若是浮点数，则向上取整 int((n/k)*i)；

例如这组数据：48.8 、92.6、111、 175 、209 、212.5、 212.9、218.9、263.5、298、628.3、958、995.9、2325

按分位数求解法则：

根据excel的QUARTILE()函数：

⚠️分位数求解法则与用excel的QUARTILE()函数或PERCENTILE()求出来的结果可能不同，但建议还是按分位数求解法则求相应的分位数

1.1.2.3 与均值的偏差

⚠️ $\mu$ 为总体均值, $\bar{x}$ 为样本均值，n为样本容量，N为总体容量

偏差：数据的值与平均数的差，如果有很多值与平均数的偏差都较大，则该数据集的离散程度较大

$E_{i}=x_{i}-\bar{x}$

平均偏差：总体 $\frac{(x_{1}-\mu )+(x_{2}-\mu )+...+(x_{n}-\mu )}{N}$ （样本： $\frac{(x_{1}-\bar{x})+(x_{2}-\bar{x})+...+(x_{n}-\bar{x})}{n-1}$ ）

平均绝对偏差：总体 $\frac{|x_{1}-\mu |+|x_{2}-\mu |+...+|x_{n}-\mu |}{N}$ （样本： $MAE=\frac{|x_{1}-\bar{x}|+|x_{2}-\bar{x}|+...+|x_{n}-\bar{x}|}{n-1}$ ）

方差：总体 $\frac{(x_{1}-\mu )^{2}+(x_{2}-\mu )^{2}+...+(x_{n}-\mu )^{2}}{N}$ （样本： $\frac{(x_{1}-\bar{x})^{2}+(x_{2}-\bar{x})^{2}+...+(x_{n}-\bar{x})^{2}}{n-1}$ ）

标准差:方差的算术平方根（⚠️算术平方根一定是正的，平方根可正可负）

变异系数（CV)：用于比较两个数据的离散程度 CV=标准差/平均数

1.1.3 相对位置度量

相对位置用数据与总体均值相差多少个标准差度量

1.1.3.1 z分数

$z=\frac{x_{i}-\mu }{\sigma }$

1.1.3.2 相对位置的数据占比

切比雪夫定理：与平均数的距离在z个标准差之内的数据项所占比例至少为（1-1/z的平方），其中z是大于1的任意实数（z不一定得是整数），适用于任何数据集而不论其数据分布的形状。
当z=2,3和4个标准差时，该定理的一些应用如下：
（1）至少75%的数据值与平均数的距离在z=2个标准差之内。
（2）至少89%的数据值与平均数的距离在z=3个标准差之内。
（3）至少94%的数据值与平均数的距离在z=4个标准差之内。

经验法则：经验法则要求数据为正态分布，具有钟形分布的数据：
（1）大约68%的数据与平均数的距离在1个标准差之内
（2）大约95%的数据与平均数的距离在2个标准差之内
（3）大约99%的数据与平均数的距离在3个标准差之内

⚠️若数据服从正态分布，则可以精准计算出与平均值相差多少个标准差的数据占比，若是其他分布，则只能根据切比雪夫定理，知道至少有多少比例的数据与平均值相差多少个标准差