图与图的数学原理

图（Graph），作为一种数据结构，普遍存在于自然界，图论也是一个经典的数学研究领域。只要我们的研究对象之间存在某些关系，往往都可以抽象出来对应的图结构。如经典的：电影演员直接按照是否在一部电影中合作过，可以作出一个关系图结构；日常社交网络中，按照两个人是否是好友关系，可以作出一个社交关系图结构 等等。图结构与我们熟知的其他数据结构（队列，栈等）最大的不同点在于，它的灵活性和复杂性。下面，我们先从最基础的图的数学定义开始，来看看图在数学上都有哪些研究方法：

图

无向图

图论中，图是一个有序对 $G=(V,E)$，其中$V$是点集，也就是图中的节点（Node），而$E$是边集，可以被定义为 E ⊆ { { x , y } : ( x , y ) ∈ V 2 } E\subseteq\left\{\{x,y\}:(x,y)\in V^2\right\} E⊆{{x,y}:(x,y)∈V2}，从中我们可以看出，这个图的所有边是没有指向性的，只是将两个端点向连接，所以该图结构也被称为无向图，特别的，我们并没有特别说明边连接的端点是不是同一个端点，这也说明存在自连接的可能。

有向图

同样的，有无向图自然也存在边具有指向性的有向图。有向图同样也可以看作一个有序对 $G=(V,E)$，其中$V$是点集，而$E$是边集，可以被定义为 E ⊆ { { x , y } : ( x , y ) ∈ V 2 , x ≠ y } E\subseteq\left\{\{x,y\}:(x,y)\in V^2,x \neq y\right\} E⊆{{x,y}:(x,y)∈V2,x=y}，一般情况下有向图不考虑存在自连接的情况。

度

在图论中，我们一般将一个节点在图中的度（degree）定义为与这个节点相连接的边的数目，其中自连接将被计数两次。即，节点$v$的度可以被记为$deg(v)$，给定一个无向图$G=(V,E)$的度求和公式为：

$$\sum _{v\in V}deg(v)=2|E|$$

其中，$|E|$即是一个图中边的数量。

而有向图中度的定义则被分为：入度和出度，即针对一个节点，进入（指向）它的边的数量和出去（指出）它的边的数量。而它们的数量求和公式为：

$$\sum _{v\in V}{\mathrm{deg}}^{+}(v)=\sum _{v\in V}{\mathrm{deg}}^{-}(v)=|E|$$

其中，${\mathrm{deg}}^{+}(v)$和${\mathrm{deg}}^{-}(v)$分别指的是入度和出度。

因为，简单的来说，度就是在衡量一个节点连接边的数量。

异质图

在这之前我们定义图结构的时候，并没有对图中节点之间多加区分，那么如果一个图结构中，节点和边的类型都有一定的差异，那么这种扩充的图结构，我们将其定义为异质图（Heterogeneous Graph），这种图结构的定义往往是为了更好的适应实际问题。当然，我们以可以用一个四元组来定义它：$G=(V,E,R,T)$，其中，$v_i\in V$是带有类型的节点，$(v_i,r,v_j)\in E$是带有类型的边，$T(v_i)$是节点类型，$r\in R$是边的类型。

日常生活中许多异质图的例子，比如学术论文的图结构：

二分图

二分图（Bipartite graph）是一类比较特殊的图结构，它的特点在于，它的节点可以被分为两个集合，每个边都是将其中一个集合的节点与另一个集合的节点相连接的。这样的图结构例子有很多：

• 论文 - 作者 图结构
• 电影 - 演员 图结构

有权图和无权图

自环图和多边图

图的表示