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1 最短路径
如图1-1所示，一幅加权有向图和其中的一条最短路径：
定义：在一幅加权有向图中，从顶点t到顶点s的最短路径是所有从s到t的路径中权重最小者。
**单点最短路径。**给定一幅加权有向图和一个起点s，回答“从s到给定目的顶点v是否存在一条有向路径？如果有，找出最短（总权重最小）的那条路径。“等类似问题。
2 最短路径的性质
最短路径问题的基本定义很简单，但是有些问题需要我们解决：
- **路径上有向的。**最短路径需要考虑到各条边的方向。
- **权重不一定等价于距离。**权重可以表示时间、花费等，也不一定 和距离的远近成正比。
- **并不是所有顶点都是可达的。**如果t并不是从s可达的，那么就不存在任何路径，也就不存在从s到t到最短路径。为了简化问题，我们的样图都是强连通的。
- **父权重会使问题更复杂。**我们暂时假设边的权重都是正的（或零），父权重在后面讨论。
- 最短路径一般都是简单的。我们的算法会忽略构成环的零权重边，因此找到的最短路径都不会含有环。
- **最短路径不一定是唯一的。**从一个顶点到达另一个顶点的权重最小的路径可能有多条，我们只要找到其中一条即可。
- **可能存在平行边或自环。**平行边中的权重最小者才会被选中，最短路径也不可能包含自环（除非自环的权重为零，但我们会忽略它）。为零避免歧义我们隐式地假设平行边不存在，用v->w表示从v到w到边。
我们的重点是单点最短路径问题，其中给出起点s，计算的结果是一棵最短路径树（SPT），它包含了顶点s到所有可达到顶点的最短路径。如图2-1所示：
给定一幅加权有向图和一个顶点s，以s为起点的一颗最短路径树树图的一幅子图，它包含s和从s可达的所有顶点。这颗有向树的根结点为s，树中的每条路径都是有向图中的一条最短路径。
3 加权有向图的数据结构
3.1 加权有向边
有向边的数据结构比无向边简单，因为有向边只有一个方向，这里定义了from()和to()方法，API如下表3.1-1所示：
| public class | DirectedEdge | |
|---|---|---|
| public | DirectedEdge(int v, int w, double weight) | |
| public double | weight() | 边的权重 |
| public int | from() | 指出这条边的顶点 |
| public int | to() | 这条边指向的顶点 |
| public String | toString() | 对象的字符串表示 |
有向边DirectedEdge源代码3.1-1如下所示：
package edu.princeton.cs.algs4;
/**
* 有向边
*/
public class DirectedEdge {
/**
* 边的起点
*/
private final int v;
/**
* 边的终点
*/
private final int w;
/**
* 边的权重
*/
private final double weight;
/**
* 初始化权重weight，从顶点v指向w的有向边
* @param v 边的起点
* @param w 边的终点
* @param weight 边的权重
*/
public DirectedEdge(int v, int w, double weight) {
if (v < 0) throw new IllegalArgumentException("Vertex names must be non-negative integers");
if (w < 0) throw new IllegalArgumentException("Vertex names must be non-negative integers");
if (Double.isNaN(weight)) throw new IllegalArgumentException("Weight is NaN");
this.v = v;
this.w = w;
this.weight = weight;
}
/**
* 返回边的起点
* @return 边的起点
*/
public int from() {
return v;
}
/**
* 边的终点
* @return 边的终点
*/
public int to() {
return w;
}
/**
* 边的权重
* @return 边的权重
*/
public double weight() {
return weight;
}
/**
* 边的字符串表示
* @return 边的字符串表示
*/
public String toString() {
return v + "->" + w + " " + String.format("%5.2f", weight);
}
}
3.2 加权有向图
加权有向图API如下表3.2-1所示：
| public class | EdgeWeightedDigraph | |
|---|---|---|
| public | EdgeWeightedDigraph(int V) | 初始化含有V个顶点的空有向图 |
| public | EdgeWeightedDigraph(In in) | 从输入流读取取构造加权有向图 |
| public int | V() | 顶点总是 |
| public int | E() | 边的总数 |
| public void | addEdge(DirectedEdge e) | 添加一条有向边 |
| public Iterable<DirectedEdge> | adj(int v) | 从v指出的边 |
| public Iterable<DirectedEdge> | eges() | 该有向图的所有边 |
| public String | toString | 加权有向图的字符串表示 |
加权有向图EdgeWeightedDigraph 源代码3.2-1如下所示：
package edu.princeton.cs.algs4;
import java.util.NoSuchElementException;
/**
* 加权有向图
*/
public class EdgeWeightedDigraph {
private static final String NEWLINE = System.getProperty("line.separator");
/**
* 顶点总数
*/
private final int V;
/**
* 边的总数
*/
private int E;
/**
* 顶点指出的边
*/
private Bag<DirectedEdge>[] adj;
/**
* 入度
*/
private int[] indegree;
/**
* 初始化V个顶点的空有向图
*
* @param V 顶点数
*/
public EdgeWeightedDigraph(int V) {
if (V < 0) throw new IllegalArgumentException("Number of vertices in a Digraph must be non-negative");
this.V = V;
this.E = 0;
this.indegree = new int[V];
adj = (Bag<DirectedEdge>[]) new Bag[V];
for (int v = 0; v < V; v++)
adj[v] = new Bag<DirectedEdge>();
}
/**
* 初始化v个顶点e条边的加权有向图
*
* @param 顶点总是
* @param 边的总数
*/
public EdgeWeightedDigraph(int V, int E) {
this(V);
if (E < 0) throw new IllegalArgumentException("Number of edges in a Digraph must be non-negative");
for (int i = 0; i < E; i++) {
int v = StdRandom.uniform(V);
int w = StdRandom.uniform(V);
double weight = 0.01 * StdRandom.uniform(100);
DirectedEdge e = new DirectedEdge(v, w, weight);
addEdge(e);
}
}
/**
* 从输入流读取数据初始化加权有向图
*
* @param 输入流
*/
public EdgeWeightedDigraph(In in) {
if (in == null) throw new IllegalArgumentException("argument is null");
try {
this.V = in.readInt();
if (V < 0) throw new IllegalArgumentException("number of vertices in a Digraph must be non-negative");
indegree = new int[V];
adj = (Bag<DirectedEdge>[]) new Bag[V];
for (int v = 0; v < V; v++) {
adj[v] = new Bag<DirectedEdge>();
}
int E = in.readInt();
if (E < 0) throw new IllegalArgumentException("Number of edges must be non-negative");
for (int i = 0; i < E; i++) {
int v = in.readInt();
int w = in.readInt();
validateVertex(v);
validateVertex(w);
double weight = in.readDouble();
addEdge(new DirectedEdge(v, w, weight));
}
}
catch (NoSuchElementException e) {
throw new IllegalArgumentException("invalid input format in EdgeWeightedDigraph constructor", e);
}
}
/**
* 用一个加权有向图初始化加权有向图
*
* @param 加权有向图G
*/
public EdgeWeightedDigraph(EdgeWeightedDigraph G) {
this(G.V());
this.E = G.E();
for (int v = 0; v < G.V(); v++)
this.indegree[v] = G.indegree(v);
for (int v = 0; v < G.V(); v++) {
// reverse so that adjacency list is in same order as original
Stack<DirectedEdge> reverse = new Stack<DirectedEdge>();
for (DirectedEdge e : G.adj[v]) {
reverse.push(e);
}
for (DirectedEdge e : reverse) {
adj[v].add(e);
}
}
}
/**
* 顶点总数
*
* @return 顶点总是
*/
public int V() {
return V;
}
/**
* 边的总数
*
* @return 边的总数
*/
public int E() {
return E;
}
/**
* 校验顶点v
*/
private void validateVertex(int v) {
if (v < 0 || v >= V)
throw new IllegalArgumentException("vertex " + v + " is not between 0 and " + (V-1));
}
/**
* 添加一条有向边e
*
* @param e 有向边e
*/
public void addEdge(DirectedEdge e) {
int v = e.from();
int w = e.to();
validateVertex(v);
validateVertex(w);
adj[v].add(e);
indegree[w]++;
E++;
}
/**
* 顶点v的指出边
*
* @param v 顶点v
* @return 顶点v指出的边
*/
public Iterable<DirectedEdge> adj(int v) {
validateVertex(v);
return adj[v];
}
/**
* 顶点v的出度
*
* @param v 顶点v
* @return 顶点v的出度
*/
public int outdegree(int v) {
validateVertex(v);
return adj[v].size();
}
/**
* 顶点v的入度
*
* @param v 顶点v
* @return 顶点v的入度
*/
public int indegree(int v) {
validateVertex(v);
return indegree[v];
}
/**
* 所有边
*
* @return 所有边
*/
public Iterable<DirectedEdge> edges() {
Bag<DirectedEdge> list = new Bag<DirectedEdge>();
for (int v = 0; v < V; v++) {
for (DirectedEdge e : adj(v)) {
list.add(e);
}
}
return list;
}
/**
* 加权有向图的字符串表示
* @return 加权有向图的字符串表示
*/
public String toString() {
StringBuilder s = new StringBuilder();
s.append(V + " " + E + NEWLINE);
for (int v = 0; v < V; v++) {
s.append(v + ": ");
for (DirectedEdge e : adj[v]) {
s.append(e + " ");
}
s.append(NEWLINE);
}
return s.toString();
}
}
加权有向图示意图3.2-1如下所示：
4 最短路径
4.1 最短路径API
| public class | SP | |
|---|---|---|
| public | SP(EdgeWeightedDigraph G, int s) | 构造函数 |
| public double | distTo(int v) | 从顶点s到顶点v的距离，不存在路径为无穷大 |
| public boolean | hasPathTo(int v) | 是否存在从顶点s到v的路径 |
| public Iterable<DirectedEdge> | pathTo(int v) | 从顶点s到v的路径，不存在为null |
4.2 最短路径的数据结构
表示最短路径 所需的数据结构很简单，如下图4.2-1所示：
- 最短路径树中的边。使用一个由顶点索引的DirectedEdge对象的父链接数组edgeTo[],其中edgeTo[v]的值为连接v和它的父结点的边。
- 到达起点的距离。由顶点索引的distTo[],其中distTo[v]表示从起点s到v的已知最短路径的长度。
我们约定edgeTo[s]为null，distTo[s]值为0。同时约定，从起点到不可达到顶点的距离均为Double.POSITIVE_INFINITY。
4.3 边的松弛
我们的最短路径API的实现都基于一个被称为松弛的操作。
-
边的松弛。放松边v->w意味着检查从s到w到最短路径是否是先从s到v，然后在由v到w。如果是，则根据这个情况更新数据结构的内容。由v到w到最短路径是distTo[v]与e.weight()之和-如果这个值小于distTo[w],称这条边失效了并将它忽略；如果这个值更新，就更新数据。代码实现4.3-1如下所示：
private void relax(DirectedEdge e) { int v = e.from(), w = e.to(); if (distTo[w] > distTo[v] + e.weight()) { distTo[w] = distTo[v] + e.weight(); edgeTo[w] = e; } }
如下图4.3-1所示：
显示的是边的放松操作之后可能出现的两种情况。一种情况边失效（做边的例子），不更新任何数据；另外一种情况是v->w到达w的最短路径（右边的例子），这将会更新edgeTo[w]和distTo[w]。
4.4 顶点的松弛
实际上，实现会放松从一个顶点这出的所有边。从任意distTo[v]为有限值的顶点v指向任意distTo[]为无穷的顶点的边都是有效的。如果v被放松，那么这些有效边都会被添加到edgeTo[]中。某条从起点指出的边将会是第一天被加入edgeTo[]中的边。算法会谨慎选择起点，使得每次顶点松弛操作都能得出到达某个顶点的更短路径，最好逐渐找出到达某个顶点的最短路径。
顶点松弛代码4.4-1如下所示：
private void relax(EdgeWeightedDigraph G, int) {
for(DirectedEdge e: G.adj(v)) {
int w = e.to();
if(distTo[w] > distTo[v]+ e.weight) {
distTo[w] = distTo[v] + e.weight;
edgeTo[w] = e;
}
}
}
结语
如果小伙伴什么问题或者指教，欢迎交流。
❓QQ:806797785
⭐️源代码仓库地址：https://gitee.com/gaogzhen/algorithm
参考链接:
[1][美]Robert Sedgewich,[美]Kevin Wayne著;谢路云译.算法：第4版[M].北京：人民邮电出版社，2012.10.p412-419.
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