微积分还是有用处的（微分电路）

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已于 2024-12-08 12:43:01 修改

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文章标签：微积分

于 2024-12-08 12:33:34 首次发布

本文链接：https://blog.youkuaiyun.com/ganggangwawa/article/details/144323854

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看到这样一个作业题：请证明：

e-Uo=LC $\frac{\mathrm{d} \frac{\mathrm{d} Uo}{\mathrm{d} t}}{\mathrm{d} t}$ +L/R* $\frac{\mathrm{d} Uo}{\mathrm{d} t}$ 。

想挑战一下，验证自己的微积分有没有进展，大学时，没有学大学物理，所有的物理都停留在高中无微积分阶段。

先学习了一下电容和电感的微积分定义：

电容电流= $\frac{\mathrm{d} u}{\mathrm{d} t}$ *C，C是电容,u是电容上的电压。

电感电压=L* $\frac{\mathrm{d} i}{\mathrm{d} t}$ ，L是电感，i是电感电流。（先不管正负号）

证明上面公式的妙处在于电压，电流是守恒的，无论并联，串联，高中学过:

电路中，e=Uo+UL，对吧！

另外：流过电感的电流：=ir+ic。

我们先利用微积分电感公式：

电感电压UL=L* $\frac{\mathrm{d} i}{\mathrm{d} t}$ =L* $\frac{\mathrm{d}( ir+ic)}{\mathrm{d} t}$ ，这个地方是第一妙处！

所以，L* $\frac{\mathrm{d}( ir+ic)}{\mathrm{d} t}$ =L* $\frac{\mathrm{d}( ir)}{\mathrm{d} t}$ +L* $\frac{\mathrm{d}( ic)}{\mathrm{d} t}$

这个ic是电容电流，可以被 $\frac{\mathrm{d} u}{\mathrm{d} t}$ *C替换，L* $\frac{\mathrm{d}( ic)}{\mathrm{d} t}$ =L* $\frac{\mathrm{d}( \frac{\mathrm{d} u}{\mathrm{d} t}*C)}{\mathrm{d} t}$ =L* $\frac{\mathrm{d}( \frac{\mathrm{d} u}{\mathrm{d} t})}{\mathrm{d} t}$ *C，这个是第二妙处。

那么最后一项L* $\frac{\mathrm{d}( ir)}{\mathrm{d} t}$ 是个什么鬼？

我们看ir=uo/R,并联电路uo=uc=ur。

所以L* $\frac{\mathrm{d}( ir)}{\mathrm{d} t}$ =L* $\frac{\mathrm{d}( uo/R)}{\mathrm{d} t}$ ,因为R是常量，可以放到微分符号外头。

L* $\frac{\mathrm{d}( uo/R)}{\mathrm{d} t}$ =L/R* $\frac{\mathrm{d}( uo)}{\mathrm{d} t}$

结论就是：L* $\frac{\mathrm{d}( ir+ic)}{\mathrm{d} t}$ =L* $\frac{\mathrm{d}( ir)}{\mathrm{d} t}$ +L* $\frac{\mathrm{d}( ic)}{\mathrm{d} t}$ =L* $\frac{\mathrm{d}( \frac{\mathrm{d} u}{\mathrm{d} t})}{\mathrm{d} t}$ *C+L/R* $\frac{\mathrm{d}( uo)}{\mathrm{d} t}$

这里通过电容的电压u=uc=uo，故：

L* $\frac{\mathrm{d}( \frac{\mathrm{d} uo}{\mathrm{d} t})}{\mathrm{d} t}$ *C+L/R* $\frac{\mathrm{d}( uo)}{\mathrm{d} t}$ =e-uo;