9、常微分方程数值解法：从欧拉法到二阶方法

常微分方程数值解法：从欧拉法到二阶方法

1. 欧拉法的稳定性分析

在分析常微分方程初值问题（ODE - IVP）的数值解法时，稳定性是一个关键因素。当 $f(\cdot)$ 仅为 $y$ 的显式函数时，稳定性分析可以形式化，这在许多化学工程问题中是常见的情况。

1.1 线性情况

考虑线性的 ODE - IVP：
$$y’ = -\lambda y \tag{3.26}$$
其解析解为 $y(t) = y_0e^{-\lambda t}$，当 $t \to \infty$ 时，$y(t)$ 有界，所以该解是稳定的。

对于欧拉显式方法，通过一系列推导可得：
$$y_i = (1 - h\lambda)y_{i - 1} = (1 - h\lambda)^i y_0 \tag{3.29}$$
若 $(1 - h\lambda)$ 介于 -1 和 1 之间，该级数收敛，即欧拉显式方法稳定的条件为：
$$|1 - h\lambda| \leq 1 \tag{3.30}$$
等价于：
$$h \leq \frac{2}{\lambda} \tag{3.31}$$

1.2 欧拉隐式方法的稳定性

欧拉隐式方法的误差与显式方法类似，全局截断误差（GTE）约为 $O(h)$。对于欧拉隐式方案，由于 $h$ 和 $t_i$ 均为正，从相关方程可知，其稳定性不受步长 $h$ 选择的影响，即对于任何正的步长 $h$，欧拉隐式方法都是稳定的。

与显式方法相比，隐式方法通常在任何步长 $h$ 的取值范围内都是“全局稳定”的。即使数值方法不是全局稳定的，其