8、常微分方程数值解法：从非线性边值问题到特征值计算

常微分方程数值解法：从非线性边值问题到特征值计算

1. 二阶半线性椭圆边值问题

二阶半线性椭圆边值问题在数学和工程领域有着广泛的应用。我们考虑如下非线性边值问题：
[y^{\prime\prime} + f(y) = 0, y(0) = 0 = y(1)]
其中 (f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}) 是一个合适的非线性函数。例如，当 (f(y) = sy + y^3)（(s) 为实数参数）时，该方程有无限多个解，且没有用初等函数表示的封闭形式解。

我们使用牛顿法来近似求解这个问题，其 MATLAB 代码分为三个部分：

1.1 代码第一部分：初始化

n = 100; N = n-1; a = 0; b = 1; dx = (b-a) / n;
x = linspace(a, b, n+1)'; v = x(2 : end-1);

s = 8;
f = @(y) s*y + y.^3;
fp = @(y) s + 3*y.^2;

y = sin(pi*v);

这部分代码完成了以下几个任务：
- 创建了区间 ([0, 1]) 的规则离散化网格 (x) 和内部点网格 (v)。
- 定义了非线性函数 (f(y)) 及其导数 (f^{\prime}(y))。
- 为牛顿法初始化了一个猜测向量 (y)。

1.2 代码第二部分：创建矩阵和定义函数

D = kron([1 -2 1], ones