48、低权重有界度平面生成器的高效构建

低权重有界度平面生成器的高效构建

在无线网络和图论领域，构建低权重、有界度的平面生成器是一个重要的研究方向。本文将围绕这一主题，介绍相关的理论证明、应用情况以及具体的构建算法。

1. 相关理论证明

对于RNG’，通过归纳法可以证明，对于任意两点p和q，在RNG’中存在一条连接p和q的路径，其边的标签小于pq的标签。如果该路径中的某条边不在最小生成树T中，根据T的定义，存在另一条由T中的边组成的路径连接该边的两个端点。因此，对于任意两点p和q，在T中存在一条连接它们的路径，其边的标签小于pq的标签。这与uv也在最小生成树T中相矛盾，从而完成了证明。

2. 广播应用

在简单的自组织网络环境中，最小能量广播/多播路由问题备受关注。任何广播路由都可视为以广播源节点为根的有向树T，它覆盖所有节点。节点p在T中所需的传输功率用fT(p)表示，叶节点的fT(p) = 0，内部节点的fT(p) = maxpq∈T ∥pq∥β，即p与其子节点在T中最长距离的β次幂。T所需的总能量为∑p∈V fT(p)。已知如果P ≠ NP，最小能量广播路由问题无法在多项式时间内解决。基于最小生成树的方法的近似比在6到12之间。

对于平面上的任意点集V，任意广播所需的总能量至少为ωβ(MST)/Cmst，其中6 ≤ Cmst ≤ 12是与几何最小生成树相关的常数。RNG已用于无线自组织网络的广播，但RNG的权重与MST的权重之比对于n个点集可能为O(n)。在最坏情况下，ωβ(RNG′) = Θ(nβ) · ωβ(MST)。

另外，虽然结构H的总边权重ω(H) ≤ c · ω(MST)（c为常数），但不能保证ωβ(H)是ωβ(MST)的常数倍。不过，可以