41、量子采样实现均衡分配

量子采样实现均衡分配

1. 静态上界

为了利用量子采样，阈值 $T$ 需要取相对较大的值。对于角度 $\theta$，建议使用 $\theta = \frac{\pi}{3}$，此时 $1 - 2\cos\theta = 0$。

定理 1 ：假设使用 $QLB(\frac{\pi}{3}, \frac{\ln N}{\ln\ln N})$ 将 $N$ 个球放入 $N$ 个箱子中，那么最大负载以高概率不超过 $(2 + o(1))\sqrt{\frac{\ln N}{\ln\ln N}}$。

证明 ：证明分为两个阶段：
- 阶段 1 ：用独立泊松过程近似游戏行为。当第 $t$ 个球到来时，每个低负载箱子接收该球的概率 $p(t) = (1 - (\frac{\nu_T(t)}{N})^3)\frac{1}{N - \nu_T(t)} \leq \frac{3}{N}$。对于高负载箱子也可使用此概率。
- 引理 4：对于参数为 $n$ 和 $p$ 的独立二项分布随机变量 $X_1, \cdots, X_n$，设 $\kappa(n, p, T)$ 是值大于 $T$ 的随机变量的数量。则对于所有 $T$，有 $Pr[\nu_{QLB(\frac{\pi}{3}, T)}^T(N) \geq k] \leq 4Pr[\kappa(N, \frac{3}{N}, T) \geq k]$。
- 设 $X$ 是 $QLB(\frac{\pi}{3}, \sqrt{\frac{\ln N}{\ln\ln N}})$ 中 $\nu_T(N)$ 的随机变量，