15、表贴式永磁同步电机的优化设计

表贴式永磁同步电机的优化设计

1. 设计主题

可变速度永磁同步电机（PMSM）的设计主题通常由以下规格组成：
- 连续额定功率（$P_b$）
- 额定转速（$n_b$）
- 最大电压（$V_n$）
- 过载系数（$k_l$）
- 最大转速（$n_{max}$）
- 最大转速下的功率（$P_{max}$）
- 相数（$m$）

同时，还需考虑一些约束条件：
- 额定功率和额定转速下的效率
- 材料绝缘等级（允许温度）
- 防异物保护等级
- 有源材料的总初始成本

对于表贴式永磁同步电机（SPMSM），弱磁调速（$n_{max}/n_b > 1.5$）不太可行（除非其同步电感$L_s$的标幺值较大，例如采用齿绕式定子绕组），因此通常$n_{max} = n_b$。

2. 电磁负荷

选择电磁负荷是电机设计的重要环节，对于SPMSM，以下几种负荷的相关特性如下：
- 比电负荷（$J_l$，A/m） ：表示定子槽内每单位定子周长的安匝数有效值。$J_l$与热负荷和转矩密度相关，较大的$J_l$可提高转矩密度，减小电机尺寸，但可能导致电机过热和效率降低。当设计目标为高转矩密度时，可考虑采用比切向力（$f_{tsp}$，$N/cm^2$）的概念，其取值范围在微电机中为$0.1 N/cm^2$，在高转矩密度设计中可达$10 N/cm^2$。$J_l$和$f_{tsp}$是互补的概念。
- 永磁气隙磁通密度（$B_{ag}$，T） ：在微电机中取值为$0.2 T$，在高转矩密度设计中可达$1 T$。$B_{ag}$、$J_l$和$f_{tsp}$共同决定了给定额定转矩（$T_{eb}$）下电机的体积。
- 定子齿磁通密度（$B_{st}$，T） ：决定了电机的磁饱和程度，对于硅钢片叠压的定子铁芯，一般取值在$1.2 - 1.8 T$。由于电机的磁气隙（包括表贴永磁体厚度）较大，齿部磁饱和的影响相对较小，因此可选择较大的$B_{st}$值。但如果$B_{st}$较大且基波频率$f_{1b}$也较大，铁芯损耗会增加。较小的$B_{st}$会导致齿部变宽，槽变窄，从而使设计电流密度增大，铜损耗增加。为避免这种情况，可采用更深的槽，但会增加电机的外径和体积。而且，加深槽并不一定能显著降低铜损耗，因为线圈端部连接的平均直径和长度会增加。因此，设计时应先采用适中到较大的$B_{st}$值，然后根据电机性能与设计主题的对比结果进行调整。
- 定子轭磁通密度（$B_{sy}$，T） ：需要在磁饱和水平和铁芯损耗限制之间进行权衡。较小的$B_{sy}$可能导致电机尺寸和重量增加，特别是在极数较少（$2p = 2, 4$）的情况下。
- 电流密度（$J_s$，$A/mm^2$） ：决定了铜损耗和铜的体积。采用细而深的槽且$J_s$值较小（$2 - 3.5 A/mm^2$）可能会导致漏电感和电机体积（及重量）增加。另一方面，较高的$J_s$值（$> 8 A/mm^2$）通常不仅需要强制冷却，还会在减小电机体积的同时降低效率。
- 转子轭磁通密度（$B_{ry}$，T） ：当永磁体不直接安装在轴上且电机极数较多（直径较大）时，$B_{ry}$较为重要。

3. 选择一些尺寸系数

在电机设计中，以下尺寸系数的选择会影响电机的性能和结构：
- 电机形状系数（$\gamma_c$） ：电机轴向长度（$l_{stack}$）与极距（$\tau$）的比值，通常取值在$0.15 - 3$之间。
- 永磁极弧系数（$\gamma_{PM}$） ：永磁体宽度与极距的比值，该系数会影响永磁体总重量、电动势空间谐波含量以及一定程度上的齿槽转矩。
- 每极每相槽数（$q_1$）
- 绕组层数（$n_L$） ：单层绕组$n_L = 1$，双层绕组$n_L = 2$。
- 定子绕组电流路径数（$a_1$） ：对于双层绕组，$a_1$是极数的约数；对于单层绕组，$a_1$是极对数的约数。为避免由于电机固有对称性不完善导致的电流路径间环流，在可能的情况下应取$a_1 = 1$，但在低压大电流（如汽车应用）中除外。
- 并联的基本导体 ：对于大电流（或高基波频率）情况，线圈匝数可由多个具有相同换位程度的基本导体并联组成，以减少集肤效应。
- 线圈跨距（$x_s$） ：线圈前进边和返回边之间的距离，可按毫米或槽距数来度量。对于三相分布绕组，取值在$2q_1 - 3q_1$之间；对于齿绕式绕组，取值小于$0.5$。
- 槽口宽度（$s_0$） ：其最小值受线圈逐匝嵌入槽内的可能性以及槽漏电感和永磁磁通边缘效应增加的限制；最大值受永磁磁通减小、齿槽转矩增加和转矩脉动的限制。
- 齿顶高度（$h_{s4}$） ：最小值受工艺（和磁饱和）约束，最大值受槽漏电感增加的限制。在高速PMSM（$f_{1b} > 1 kHz$）中，可增加$h_{s4}$以提高电机电感$L_s$，从而减小电流脉动。

4. 一些工艺约束

在电机设计过程中，还需考虑以下工艺约束：
- 叠片铁芯填充系数（$k_{stk}$） ：取值范围为$0.8 - 0.95$，是叠片高度与总叠片铁芯长度的比值（由于叠片绝缘涂层，$k_{stk} < 1$）。
- 槽内铜填充系数（$k_{sf}$） ：取值范围为$0.33 - 0.7$，半闭口槽且线圈逐匝嵌入时取值较低，开口槽且采用矩形截面导体的预制线圈时取值较高。
- 最小气隙（$g_{min}$） ：在超高速电机中，从机械角度考虑会增加气隙，以减少定子磁动势空间谐波引起的永磁体涡流损耗；同时，可对永磁体进行树脂涂层处理以提高机械刚性。
- 过载去磁安全系数（$k_{sPM}$） ：该系数限制了在最坏负载情况下避免永磁体去磁的最大过载定子磁动势。
- 槽几何形状类型 ：如果使用多种槽形，需提供所选槽形的设计表达式，计算机代码会根据菜单调用特定的几何和磁导表达式。
- 槽楔角度（$\alpha_w$）
- 槽绝缘厚度
- 直线端部连接长度（$l_{f1}$） ：线圈从槽中引出的直线部分长度。
- 永磁体长度（$l_{PM}$）与定子叠片长度（$l_{stack}$）的差值 ：$l_{PM} - l_{stack} = (1 - 2)(g + h_{PM})$，其中$h_{PM}$为永磁体沿磁化方向的厚度，以避免轴承受到轴向力。
- 最小轴径 ：根据最大预期转矩确定。

5. 选择磁性材料

磁性材料的选择对电机性能至关重要，主要涉及永磁体和磁芯：
- 永磁体 ：需选择剩余磁通密度（$B_r$）、矫顽力（$H_c$）和最大允许转子（永磁体）温度（$T_r$）。$B_r$的选择取决于气隙磁通密度，对于SPMSM，$B_{ag} < B_r$。矫顽力$H_c$取决于$B_r$和回复磁导率$\mu_{rec}$：
- 对于钕铁硼（NeFeB）、钐钴（SmCo5）和铁氧体永磁体（$B_r = (0.3 - 0.4) T$），$\mu_{rec} \approx (1.05 - 1.3)$。
- 对于粘结永磁体，$\mu_{rec} \approx 1.05$，$B_r = 0.6 - 0.8 T$。
- 对于烧结永磁体，在$20^{\circ}C$时，$B_r = 1.1 - 1.37 T$。

矫顽力$H_c$的计算公式为：
$H_c \approx \frac{B_r}{\mu_{rec}(pu)\mu_0}$（A/m）

永磁体的特性可从制造商的目录中获取，包括$20^{\circ}C$时的$B_r$和$H_c$、$B_r$和$H_c$的温度系数、能量密度、内禀矫顽力、永磁体磁化场、最大工作温度以及永磁材料的电阻率等。
- 磁芯 ：对于基波频率最高为$150 Hz$的情况，通常采用$0.5 mm$（为提高生产率可采用$0.65 mm$）的无取向硅钢片叠压的磁芯；对于基波频率高于$150 Hz$的情况，为减少涡流损耗，应采用更薄的叠片（$0.2 mm$或更薄，且叠片系数$k_{sk} > 0.8$）。使用具有较高饱和磁通密度的软磁材料（如在$50 Hz$、$H_{sat} = 10^4 A/m$时，$B_{sat} = 2.35 T$）可使PMSM更紧凑，但初始成本会略高。软磁材料的其他重要特性包括与磁通密度幅值和频率相关的铁芯损耗，可分为涡流损耗和磁滞损耗。一些制造商提供了不同频率下的铁芯损耗数据。常见的硅钢片牌号有M19和SURA，Hyperco50是一种含钴量高达$50\%$、在低于$500 Hz$频率下损耗适中的高饱和磁通密度叠片材料，Somaloy是一种适用于$f_B > 500 Hz$（一般情况）或需要容纳三维交流磁场线的软材料复合材料。此外，Magnoval是一种相对磁导率较低（$\mu_{rec} = (3 - 5)\mu_0$）的烧结材料，可用于槽楔，以减小永磁磁通密度脉动、齿槽转矩和总转矩脉动，但会增加漏电感和同步电感，在高频（$f_{1b} > 1 kHz$）电机中可用于提高电机电感以减小电流脉动。

铁芯功率损耗（$W/kg$）的近似计算公式为：
$dP_{tot} = k_hB_{mf}^2 + \frac{\pi^2 \sigma d^2}{6}(B_{mf})^2 + 8.67k_e(B_{mf})^{2/3}$

6. 尺寸计算方法

6.1 计算电机尺寸常数和定子内径

首先，根据已选择的参数计算电机尺寸常数$C_0$和定子内径$D_{si}$：
$C_0 = \frac{\pi^2}{\sqrt{2}}B_{ag}J_lk_w$
其中，$B_{ag}$为永磁气隙磁通密度（T），$J_l$为线性比电负荷（Aturns/m），$k_w$为绕组系数，包括区系数$k_{ws}$和弦系数$k_{chs}$，$y_s$为线圈跨距（以槽距数计）：
$k_w = k_{ws} \cdot k_{chs}$
$k_{ws} = \frac{\sin(\frac{\pi}{6})}{q_1 \sin(\frac{\pi}{q_16})}$
$k_{chs} = \sin(\frac{y_1}{q_1m} \cdot \frac{\pi}{2})$

$D_{si}$（mm）的计算公式为：
$D_{si} = 1000 \cdot \sqrt[3]{\frac{60p_s}{\pi n_n} \cdot \frac{P_n}{\lambda_c C_0}}$
其中，$p_s$为转子极数（$p_s = 2p_1$），可根据额定转速和所选频率给定或计算得出，$P_b$为额定电磁功率。

当定子磁动势的反应气隙磁通密度相对于永磁气隙磁通密度$B_{ag}$较小时（小于$25\%$），使用上述公式较为安全。另一个替代公式使用电磁转矩$T_{eb}$和切向比力$f_{tsp}$（$N/cm^2$）：
$D_{si}$（mm）$ = 100 \cdot \sqrt[3]{\frac{2p_s}{10\pi^2} \cdot \frac{T_{eb}}{\lambda_c f_{tsp}}}$

6.2 计算其他尺寸参数

确定$D_{si}$后，可计算极距$\tau$和铁芯叠片长度$l_c$：
$\tau_p = \frac{\pi D_{si}}{p_s}$
$l_c = \lambda_c \tau_p$

根据给定的$B_{ag}$（$0.2 - 1 T$）和$\lambda_{PM}$（$0.6 - 0.9$），可计算每极永磁磁通$\varPhi_{PM}$：
$\varPhi_{PM} = \frac{2}{\pi}B_{ag}\tau l_c \sin(\frac{\lambda_{PM}\pi}{2})$

然后，计算定子和转子轭的厚度$h_{sy}$和$h_{ry}$：
$h_{sy} = \frac{B_{ag}}{B_{sy}} \cdot \frac{\tau_p}{\pi}$
$h_{ry} = \frac{B_{ag}}{B_{ry}} \cdot \frac{\tau_p}{\pi}$

计算定子槽数$N_{ss}$、定子槽距$\tau_{ss}$和齿宽$w_{st}$：
$N_{ss} = qq \cdot m \cdot p_s$
$\tau_{ss} = \frac{\pi D_{si}}{N_{ss}}$
$w_{st} = \tau_{ss} \frac{B_{ag}}{B_{st}}$

在计算定子几何参数之前，需先确定槽几何角度$\alpha_s$和齿片角度$\alpha_{st}$：
$\alpha_s = \frac{2\pi}{N_{ss}}$
$\alpha_s’ = \frac{\pi}{N_{ss}}$
$\alpha_{s0} = 2a \sin(\frac{s_0}{D_{si}})$
$\alpha_{st} = \alpha_s - \alpha_{s0}$

验证齿顶（片）是否大于齿宽$w_{st}$，若不满足则相应减小槽口宽度$s_0$。在极限情况下，当齿的中心角为$\alpha_{stmin} = 2a \sin(\frac{w_{st}}{D_{si}})$时，槽可保持开口。对于开口槽，槽口最大宽度为：
$s_{0max} = D_{si} \sin(\alpha_s’ - \frac{\alpha_{stmin}}{2})$

计算槽的主要几何参数：
$h_{s3} = \frac{s_{0max} - s_0}{2} + \frac{h_{s4} \cdot \tan(\alpha_s’)}{\tan(\alpha_w) - \tan(\alpha_s’)}$
$w_{s3} = s_{0max} + 2(h_{s4} + h_{s3})\tan(\alpha_s’)$
$w_{s2} = w_{s3} + 2h_{s2}\tan(\alpha_s’)$
其中，$h_{s2}$为槽的经典绝缘厚度。

计算槽内铜面积$S_{Cu}$和所需槽面积$S_{slot}$：
$S_{Cu} = \frac{I_{ts}}{J_s}$
$S_{slot} = \frac{S_{Cu}}{K_{sf}}$
其中，$I_{ts}$为每槽的总有效值安匝数，可通过以下公式计算：
$I_{ts} = \frac{\pi D_{si}J_l}{N_{ss}}$
$I_{ts} = \frac{T_{em}}{\sqrt{2}p_1\varPhi_p N_{ss}}$

已知有效槽面积$S_{slot}$后，可计算其主要尺寸：
$h_{s1} = \frac{-w_{s2} + \sqrt{w_{s2}^2 + 4S_{slot} \tan(\alpha_s’)}}{2 \tan(\alpha_s’)}$
$w_{s1} = w_{s2} + 2h_{s1} \tan(\alpha_s’)$
$h_s = h_{s4} + h_{s3} + h_{s2} + h_{s1}$

将定子外径$D_{so}$近似为整数（mm）：
$D_{s0} = round(D_{si} + 2h_s + 2h_{sy})$

重新计算定子轭厚度$h_{sy}$：
$h_{sy} = \frac{D_{s0} - D_{si}}{2} - h_s$

计算端部连接线圈长度$l_f$、总半匝长度$l_{mc}$和定子端部连接之间的轴向长度$l_{ff}$：
$l_f = \frac{\pi}{2} \tau_p \frac{y_1}{q_1m}(1 + \frac{h_s}{D_{si}}) + 2l_{f1}$
$l_{mc} = l_c + l_f$
$l_{ff} = l_c + 2l_{f1} + \tau_p \frac{y_1}{q_1m}(1 + \frac{h_s}{D_{si}})$

电机框架长度可根据$l_{mc}$计算。

6.3 转子尺寸计算

• 永磁体厚度 ：永磁体厚度$h_{PM1}$应能产生一定的气隙永磁磁通密度$B_{ag0}$，并在小过载时避免去磁：
  $h_{PM1} = \frac{B_{ag0}\delta m k_s}{\mu_0 H_c}(1 - \frac{B_{ag0}}{B_r k_s})$
  $h_{PM2} = \frac{1000I_{ts}N_{ss}}{p_1 \sqrt{2} k_1 k_{\sigma PM} H_c}$
  其中，$k_s$为饱和系数。选择$h_{PM1}$和$h_{PM2}$中的较大值，并四舍五入到十位毫米。如果$h_{PM2} > h_{PM1}$，则需重新计算气隙$g$：
  $g = \frac{\mu_0 H_c h_{PM}}{1 - \frac{B_{ag0}}{B_r k_s}} \frac{1}{B_{ag0} k_s}$
  将气隙$g$四舍五入到$0.05 mm$的倍数：
  $g = 0.05 \cdot round(20g)$
• 转子外径和内径 ：转子外径$D_{r0}$和内径$D_{ri}$以及铁芯长度$l_{cr}$的计算公式如下：
  $D_{r0} = D_{si} - 2\delta$
  $D_{ri} = D_{r0} - 2(h_{PM} + h_{ry})$
  $l_{cr} = l_c + \Delta s_r$
  将转子内径$D_{ri}$四舍五入到整数毫米，并适当调整转子轭厚度。如果$D_{ri}$小于轴径，可重新进行尺寸计算（减小$B_{ag}$、$J_l$和$f_{tsp}$或增大形状系数$\lambda_c$），或者将永磁体直接安装在轴上（采用实心转子轭）。

6.4 永磁磁通计算

为了精确计算永磁磁通，需要考虑饱和系数$k_{sat}$。由于永磁体的退磁曲线呈线性，$\mu_{rec} = (1.05 - 1.1)\mu_0$，因此需要计算等效气隙$g_e$的卡特系数$k_c$：
$g_e = g + \frac{B_r}{\mu_0 H_c} h_{PM}$
$k_c = \frac{\tau_s}{\tau_s - \gamma_s s_0}$
其中，$\gamma_s = \frac{(s_0 / g_e)^2}{5 + s_0 / g_e}$

由于磁芯材料的非线性，永磁气隙磁通密度需要迭代计算。首先使用初步设计中的饱和系数$k_s$计算$B_{ag0}$：
$B_{ag0} = \frac{\mu_0 H_c h_{PM}}{g_e k_C k_s}$

根据公式计算每极永磁磁通$\varPhi_{PM}$，然后重新计算$B_{st}$、$B_{sy}$和$B_{ry}$：
$B_{st} = B_{ag} \frac{\tau_s}{w_{st}}$
$B_{sy} = \frac{\varPhi_p}{2l_c h_{sy}} \times 10^6$
$B_{ry} = \frac{\varPhi_p}{2l_c h_{ry}} \times 10^6$

利用磁芯磁化曲线进行插值，计算定子齿、定子轭和转子轭中的磁场强度$H_{st}$、$H_{sy}$和$H_{ry}$，进而计算磁化电压$V_{mst}$、$V_{msy}$和$V_{mry}$：
$V_{mst} = 0.001H_{st} h_s$
$V_{msy} = 0.001H_{sy} \frac{x}{p_s C_x}$
$V_{mry} = 0.001H_{ry} \frac{y}{p_s C_y}$
其中，$D_x$和$D_y$分别为两个轭中平均磁通路径闭合的平均直径，$C_x$和$C_y$为路径长度缩减系数，可根据磁通密度分布和转子极数通过插值从图中获取（也可通过有限元法计算）：
$D_x = D_{s0} - \frac{4}{3}h_{sy}$
$D_y = D_{r0} - 2h_{PM} - \frac{2}{3}h_{ry}$

计算气隙上的磁压$V_{mg}$：
$V_{mg} = 0.001g_e k_C \frac{B_{ag}}{\mu_0}$

产生气隙磁通密度$B_{ag0}$所需的总磁动势$V_m$为：
$V_m = V_{mst} + V_{msy} + V_{mry} + V_{mg}$

计算新的饱和系数$k_{sat}$：
$k_s = \frac{V_m}{V_{mg}}$

基于新的$k_s$值，重新计算$B_{ag0}$，直到两次连续的$k_s$值误差小于$1\%$。在优化设计中需要高精度计算，可采用解析法和有限元法相结合的方式。为加快$k_s$（或$B_{ag}$）的收敛速度，可使用松弛系数：
$B_{ag,k} = (1 - r)B_{ag,k - 1} + r \cdot B_{ag,new}$
其中，$B_{ag,k - 1}$为气隙磁通密度的旧值，$B_{ag,new}$为根据$k_{sat}$计算得到的新值，$B_{ag,k}$为下一次迭代使用的值。对于饱和电机，$r = 0.2 - 0.3$可实现较好的收敛效果；对于不饱和电机，收敛速度可能较慢。在极低饱和程度下可能会出现收敛问题，此时可从一开始就赋予$k_s$一个合理（安全）的值（$k_s = 1.05 - 1.1$）。

计算得到所需精度的$B_{ag}$后，重新计算每极永磁磁通$\varPhi_p$，并计算单匝线圈的永磁磁链$\varPsi_{PM1}$：
$\varPsi_{PM1} = \frac{q_1}{n_L p_1} \frac{2}{a_1} \varPhi_p k_w$

计算单匝线圈绕组的等效电流$i_{q1}$：
$i_{q1} = \frac{2T_n}{3p_1 \varPsi_{PM1}}$

计算单匝线圈绕组的定子相电阻$R_{s1}$：
$R_{s1} = \frac{1000\rho n_{cs} l_{mc}}{a_1 S_{Cu}}$
其中，$\rho$为工作温度$T_{w1}$下铜的电阻率：
$\rho = \rho_{20}(1 + (T_{w1} - 20)\alpha_{Cu})$
$n_{cs}$为串联线圈数：
$n_{cs} = \frac{2q_1 p_1}{n_L a_1}$
其中，$a_1$为电流路径数，$n_L$为绕组层数（$n_L = 1, 2$）。

计算单匝线圈绕组的循环磁化电感$L_{m1}$：
$L_{m1} = 2m\mu_0 (\frac{n_{cs}}{2 f_w}) \frac{l_c \tau}{\pi p_1 k_C k_s g_e}$
饱和系数$k_s$是在空载情况下计算得到的，对于严重饱和的电机，需要考虑定子磁动势的影响。该公式适用于$q_1 > 1$的情况。

计算漏电感$L_{\sigma1}$：
$k_2 = \begin{cases}
\frac{3(2 - \frac{y_1}{mq_1}) + 1}{4}, & \frac{y_1}{mq_1} > 1 \
\frac{1 + 3\frac{y_1}{mq_1}}{4}, & \frac{2}{3} < \frac{y_1}{mq_1} < 1 \
\frac{6\frac{y_1}{mq_1} - 1}{4}, & \frac{y_1}{mq_1} < \frac{2}{3}
\end{cases}$
$k_1 = \frac{1 + 3k_2}{4}$
$\lambda_{ss} = k_1 \frac{h_{s1}}{b_1} + k_2 (\frac{h_{s2}}{b_2} + \frac{h_{s3}}{b_3} + \frac{h_{s4}}{s_0})$
其中，$b_1$为有效槽平均宽度，$b_2$和$b_3$为梯形无导体区域的宽度：
$b_1 = \frac{(w_{s1} + w_{s2})^2}{0.25(3w_{s1} + w_{s2}) + 0.5w_{s1}^2 \frac{w_{s2} - 3w_{s1}}{(w_{s1} - w_{s2})^2} + \frac{w_{s1}^4}{(w_{s1} - w_{s2})^3} \log(\frac{w_{s1}}{w_{s2}})}$
$b_2 = \frac{w_{s2} - w_{s3}}{\log(\frac{w_{s2}}{w_{s3}})}$
$b_3 = \frac{w_{s2} - s_0}{\log(\frac{w_{s3}}{s_0})}$

端部连接几何磁导$\lambda_{s0}$的解析计算较为困难，通常采用经验近似公式：
$\lambda_{s0} = 0.34q_1 \frac{l_f - 0.64(D_{si} + h_s)}{y_1} \frac{2p_1 m q_1}{l_c}$
该公式主要适用于分布绕组（$q_1 > 1$），齿绕式线圈的$\lambda_{s0}$较大，因为导体更靠近铁芯但端部连接较短。

每相单匝线圈的漏电感$L_{\sigma1}$为：
$L_{\sigma1} = 2\mu_0 (\frac{n_{cs}}{2})^2 \frac{\lambda_{ss} + \lambda_{s0}}{p_1 q_1} \cdot \frac{l_c}{1000}$

总循环电感$L_{s1}$（三相电流都存在时）为：
$L_{s1} = L_{m1} + L_{\sigma1}$

根据给定的电压和速度（频率），计算每线圈的匝数$N_1$：
$N_1 = \frac{V_n}{\sqrt{(\omega_1 \varPsi_{PM1} + R_{s1} i_{q1})^2 + (\omega_1 L_{s1} i_{q1})^2}}$
将$N_1$四舍五入为整数$N$，并重新计算电机长度$l_c$：
$l_c = \frac{N_1}{N} l_c’$
其中，$l_c’$为旧的电机长度。将$l_c$四舍五入到整数毫米，并重新计算与电机长度相关的参数（如$R_s$、$\varPsi_{PM}$和$L_{s1}$）。对于$N_1 > 20$匝的情况，仅使用上述公式计算$l_c$是可行的。

计算导体面积$q_{Cu}$：
$q_{Cu} = \frac{S_{Cu}}{N}$
为减少集肤效应，可采用多个直径为$d_{ce}$的基本导体并联：
$d_{ce} = 2\sqrt{\frac{q_{Cu}}{\pi n_{ce}}}$
将$d_{ce}$按标准规格进行标准化后，重新计算总最终导体面积。根据最终的$N$和$l_c$值，重新计算所有电机参数（如匝数$N_1$、永磁磁链$\varPsi_{PM}$、电阻$R_s$、磁化电感$L_m$和漏电感$L_{\sigma i}$）：
$N_1 = \frac{N q_1}{n_L p_1} a_1$
$\varPsi_{PM} = N_1 \varPhi_p k_w$
$I_n = \frac{2\sqrt{2}}{m} \cdot \frac{T_{nem}}{p_1 \varPsi_{PM}}$
$R_s = \frac{1000\rho 2N_1 l_{mc}}{a_1 q_{Cu}}$
$L_m = 2m\mu_0 \frac{(N_1 k_w)^2 l_c \tau_p}{\pi^2 p_1 a_1 k_C k_s g_e}$
$L_{\sigma1} = 2\mu_0 \frac{N_1^2}{p_1 a_1 q_1} (\lambda_{ss} + \lambda_{s0}) \cdot \frac{l_c}{1000}$

6.5 有源材料重量计算

• 绕组重量 ：$m_{cu} = 2m a_1 N_1 l_{mc} q_{Cu} \gamma_{Cu} 10^{-9}$
• 永磁体重量 ：$m_{PM} = \pi \lambda_{PM}(D_{r0} - h_{PM})h_{PM} l_{cr} \gamma_{Fe} 10^{-9}$
• 转子轭重量 ：$m_{rFe} = \pi(D_{ri} + h_{ry})h_{ry} l_{cr} \gamma_{Fe} 10^{-9}$
• 定子轭重量 ：$m_{sy} = \pi(D_{s0} - h_{sy})h_{sy} l_c k_{stk} \gamma_{Fe}$
• 定子齿重量 ：$m_{sth} = N_{ss} w_{st} h_s l_c k_{stk} \gamma_{Fe} 10^{-9}$
• 定子铁芯重量 ：$m_{sFe} = m_{sy} + m_{sth}$
• 有源材料总重量 ：$m_{tot} = m_{Fe} + m_{PM} + m_{sFe} + m_{Cu}$
  由于叠片是从方形材料上冲压得到的，实际使用的铁芯重量$m_{Fe}$为：
  $m_{Fe} = D_{s0}^2 l_c k_{stk} \gamma_{Fe} 10^{-9}$
  该重量用于计算电机材料的关键成本。
• 转子惯性 ：$J_s = m_{PM} \frac{D_{r0}^2 + D_{r1}^2}{8} 10^{-6} + m_{ry} \frac{D_{r1}^2 + D_{ri}^2}{8} 10^{-6}$
  轴的惯性需加到上述值中。

6.6 损耗计算

• 绕组损耗 ：$P_{Cu} = m R_s I_n^2$
• 铁芯损耗 ：分别计算定子齿和定子轭的铁芯损耗。根据可用的铁芯损耗数据，可分别或一起计算磁滞损耗和涡流损耗：
  $p_{ht} = \frac{1}{\gamma_{Fe}} k_h f^{e_{fh}} B_{st}^{e_{Bh}}$
  $p_{hy} = \frac{1}{\gamma_{Fe}} k_h f^{e_{fh}} B_{sy}^{e_{Bh}}$
  $p_{et} = \frac{\pi^2}{6\rho_{Fe} \gamma_{Fe}} f^{e_{fe}} B_{st}^{e_{Be}} g_{et}^t$
  $p_{ey} = \frac{\pi^2}{6\rho_{Fe} \gamma_{Fe}} f^{e_{fe}} B_{sy}^{e_{Be}} g_{et}^t$
  $p_{Fet} = p_{ht} + p_{et}$
  $p_{Fey} = p_{hy} + p_{ey}$
  $p_{Fet} = p_{Fet} m_{sth}$
  $p_{Fey} = p_{Fey} m_{sy}$
  $p_{Fe} = p_{Fet} + p_{Fey}$
  其中，$e_{fh}$为磁滞损耗的频率指数，$e_{Bh}$为磁滞损耗的磁通密度指数，$e_{fe}$为涡流损耗的频率指数，$e_{Be}$为涡流损耗的磁通密度指数，$e_{gt}$为厚度指数。

将轭部和齿部的铁芯损耗分开计算，便于跟踪它们的变化，从而采取措施减少关键区域的损耗。

6.7 热验证

为了粗略验证电机绕组的过热情况，首先计算用于热传递的总框架面积$A_{fr}$：
$A_{fr} = 10^{-6}(\pi k_f D_{s0} l_f + \frac{\pi^2}{2} D_{s0}^2)$
其中，$k_f$为由于散热片导致的冷却表面积增加系数。

加入等效热传递系数$\alpha_t$（$W/m^{\circ}C$，无通风框架为$14$，水冷框架外套为$100$），计算绕组的过热温度$T_{w1}$：
$T_w = \frac{P_{Cu} + P_{Fe}}{\alpha_t A_{fr}}$
如果过热温度较高，且$\alpha_t$值与采用的冷却系统相符，则需要重新进行电机设计，减小$J_l$（或$f_{tsp}$）和/或增加$\lambda_c$（增加铁芯长度）。

6.8 电机特性

一般来说，永磁同步电机的特性包括：
- 额定转速$n_b$和最大转速$n_{max}$
- 额定转速和额定（最大）电压下的连续转矩
- 额定转速下的峰值转矩
- 最大转速下的转矩
- 最大转速下的电动势
- 给定最大逆变器基波电压$V_1$时，效率和功率因数（或定子电流）随负载和速度的变化关系

7. 遗传算法优化设计

7.1 优化变量

使用遗传算法（GA）对SPMSM进行优化设计时，引入以下优化变量：
- 线性电负荷（$J_l$，A/m）
- 气隙磁通密度（$B_{ag}$，T）
- 定子齿磁通密度（$B_{st}$，T）
- 定子轭磁通密度（$B_{sy}$，T）
- 转子轭磁通密度（$B_{ry}$，T）
- 定子电流密度（$J_s$，$A/mm^2$）
- 电机形状系数（$\lambda_c = l_c / \tau$）
- 每极每相槽数（$q_1$）
- 槽口宽度（$s_0$，mm）
- 齿顶高度（$h_{s4}$，mm）
- 线圈跨距（$y_1$，mm）
- 永磁极弧系数（$\lambda_{PM}$）

将这12个变量组合成向量$X_0$。设计者不直接初始化变量向量$X$，而是指定其最小值$X_{min}$、最大值$X_{max}$以及相应的分辨率$\Delta X$。同时，将所有因工艺或机械原因而设定的几何变量最小值组合在$G_{dmin}$中，包括：
- 转子外径
- 转子内径
- 最小有效槽高
- 最小总槽高
- 最小槽宽
- 最小有效槽面积

所选的GA对优化变量进行二进制编码。由于部分优化变量（如每极每相定子槽数$q_1$和线圈跨距）为整数，而其他变量为具有较大动态范围的有理数，因此它们用不同位数表示。根据变量域$X_{max} - X_{min}$和代表分辨率，所需的位数$N_{bit}$为：
$N_{bit} = 1 + int(\log_2(\frac{X_{max} - X_{min}}{\Delta X}))$

设置GA时，需指定种群大小$n_p$（一代中的个体数量）、代数$n_g$、精英因子$k_{elit}$、变异率$r_m$以及参与下一代遗传物质生成的个体占用因子$k_{ex}$。

7.2 目标（适应度）函数

选择一个复杂的目标（适应度）函数，包括电机的初始成本、电机使用寿命内的损耗成本以及因重量产生的额外框架和运输成本：
- 初始成本 ：$C_i = m_{cu} p_w + m_{Fe} p_{lam} + m_{PM} p_{PM}$
其中，$p_w$、$p_{lam}$和$p_{PM}$分别为铜、叠片和永磁体的单位价格（如USD(或EU)/kg）。
- 损耗成本 ：
$C_E = P_N (1 - \frac{1}{\eta_N}) n_{hy} n_y p_E$
其中，$n_{hy}$为每年运行小时数，$n_y$为运行年数，$p_E$为能源成本（USD(EU)/kWh）。

由于电机很少始终在额定功率和速度下运行，可引入一个理想运行周期，其特征为在不同功率负载$P_i$和效率$\eta_i$下运行的概率$\alpha_i$：
$C_E = n_{hy} n_y p_E \sum_{i = 1}^{n} \alpha_i P_i (1 - \frac{1}{\eta_i})$
其中，$\sum \alpha_i = 1$，$i = 1, n$。

在实际设计中，由于许多买家无法承受较高的初始成本，$C_E$的值会被降低，实际上会采用一种基于初始/总成本的最优效率。此时，损耗成本$C_E$为：
$C_E = n_{hy} n_y p_E \sum_{i = 1}^{n} \alpha_i P_i$
其中，$P_i = \begin{cases}
P_i (\frac{1}{\eta_{oi}} - \frac{1}{\eta_i}), & \eta_i < \eta_{oi} \
0, & \eta_i \geq \eta_{oi}
\end{cases}$
- 额外成本 ：在飞机应用中，低重量是关键性能指标；在风力发电机中，低成本但性能较差的材料会导致电机重量增加，从而增加机舱和塔架的成本，可能抵消发电机初始成本的降低。为了迫使算法降低电机（发电机）重量，可增加与电机重量$m_t$成比例的额外成本$C_m$：
$C_m = m_t p_m$
- 过热惩罚成本 ：超过最大允许的绕组（以及铁芯和永磁体）温度会导致设备过早老化。为避免这种情况，在目标函数中引入过热惩罚成本$C_{temp}$，该成本可随过热温度线性或指数变化：
$C_{temp} = \begin{cases}
k_T (T - T_{max}) C_i, & T > T_{max} \
0, & T \leq T_{max}
\end{cases}$
还可针对其他技术约束添加惩罚成本，如功率因数较低（与变频器kVA额定成本相关）、外径或电机轴向长度等。约束的特定成本越高，优化设计遵循这些约束的可能性就越大。

最终的总成本$C_t$为：
$C_t = C_i + C_E + C_m + C_p$

7.3 案例研究

以一台额定功率为$2.2 kW$、基波频率为$50 Hz$的三相四极表贴式永磁同步电机为例进行优化设计。优化变量的最大和最小值如表1所示。

优化变量	最小值	最大值	单位	备注
$J_1$	15	30	kA/M	比电负荷规格
$B_{agsp}$	0.45	0.75	T	气隙磁通密度
$B_{st}$	1	2	T	定子齿磁通密度
$B_{sy}$	0.9	1.9	T	定子轭磁通密度
$B_{ry}$	0.9	2.1	T	转子轭磁通密度
$J_s$	3	8	A/mm²	定子电流密度
$l_{cpertau}$	0	3		铁芯叠片长度与极距之比
$q_1$	2	4		每极每相定子槽数
$s_0$	1	5	mm	定子槽开口宽度
$h_{s4}$	0.5	2	mm	定子齿极尖高度
$cSpan$	0.66	1		线圈跨距与极距之比
$Alpm$	0.5	1		永磁体角度与极角之比

遗传算法的进化过程如下：
- 每一代都有一个最符合优化标准的成员，其成本函数最小；同时，每一代还有平均成本函数和最不适应的成员。通过跟踪这三个值的变化，可以评估GA的收敛性。
- 初始时，最佳成员的成本函数与平均成本函数之间存在较大差异，最不适应成员的成本函数值可能是平均值的10倍以上。代与代之间成本函数的最大和最小值差距较大，表明种群具有良好的进化潜力。
- 随着时间的推移，种群成员的代码逐渐趋于相似，成本函数的最大和最小值变化减小。最终，目标函数的最小值在多代中保持不变，成本变化虽小但仍然存在。
- 在随机选择成员配对产生后代时，为避免过早进化，对成本函数设定了最小差异。过早进化会导致种群中出现大量相同的个体，最大和平均成本收敛到最小成本。此时，主要的交叉方法无法带来改进，新的遗传代码只能通过变异产生。如果新成员的成本函数高于大多数相似成员，新代码将在几代内被淘汰。

最佳成员的主要几何尺寸和槽几何形状在各代中的变化呈现离散值，相同的尺寸可能在几代后再次出现。功率损耗和能源效率在最初十代中观察到约$1\%$的小幅度提高。最佳候选解决方案在第一代就具有良好的效率，因为它代表了150个成员种群中的最佳解。

电机组件的重量和成本也会随着代数的增加而发生变化。在优化过程中，线性电负荷的最优值大于$40 kA/m$（输入文件中最大值为$30 kA/m$），气隙磁通也趋于其上限。电流密度的上限在设计中足够大，最佳候选解决方案的优化值未超过上限。

对于优化变量的分布，并非所有可能的水平都被采用，且没有明确的规则表明哪些值可以使优化函数最小化。例如，线性电负荷小于$25 kA/m$可能无法获得可接受的电机成本；气隙磁通密度约为$0.75 T$时可能得到较好的解决方案；电流密度小于$4 A/mm^2$可能难以使目标函数最小化；线圈跨距与极距之比为$0.83$和永磁体宽度与极距之比约为$0.91$可能产生较好的解决方案；铁芯长度与极距之比大于$2.5$可能总是产生不良结果。在最后一代中，两个槽每极每相的出现频率高于三个槽每极每相，特别是对于高性能成员，因此这个值可能使目标函数最小化。

通过减小搜索区域并将某些变量设为常数，可以进一步改进GA。

8. 采用Hooke - Jeeves方法的优化设计

采用与GA方法相同的优化变量向量和目标函数，实现Hooke - Jeeves优化算法。与GA方法相比，几何尺寸、优化变量和成本函数的变化呈现连续函数的特征。

8.1 优化结果

• 尺寸和参数变化 ：主几何和槽尺寸、功率损耗和效率、组件重量和成本等随迭代步骤的变化情况如图所示。永磁体宽度与极距之比和线圈跨距与极距之比趋于与GA方法相同的值，而铁芯长度与极距之比趋于较小值。算法从三个槽每极每相开始，经过三步后变为两个槽每极每相并保持不变。
• 比较结果 ：GA和Hooke - Jeeves方法的总成本相近，但GA的仿真时间约为Hooke - Jeeves算法的75倍。GA选择的一些优化变量超出了边界，而Hooke - Jeeves方法的优化变量严格在指定范围内。Hooke - Jeeves算法设计的电机效率高于GA方法，但GA方法的初始成本较小，这可能是因为GA允许更大的线性电负荷。Hooke - Jeeves算法在搜索过程中每个变量的初始变化步长为整个域的$10\%$，较大的初始步长有助于算法探索更大的区域，增加越过局部最小值的机会。

两种优化方法的比较结果如表2所示：

参数	GA	HG	单位	备注
$s_{Do}$	139	149	mm	定子外径
$s_{Di}$	73	86	mm	定子内径
$sh_4$	0.9	0.6	mm	定子齿极尖高度
$s_0$	1	2.5	mm	定子槽开口宽度
$sh_3$	0.9	0.9	mm	定子槽楔高度
$sh_{OA}$	24.2	20.7	mm	定子槽总高度
$sh_1$	21.7	18.5	mm	定子槽主（线圈）高度
$sh_y$	8.8	10.8	mm	定子轭高度
$s_{wt}$	4.7	5.1	mm	定子齿宽度
$N_1$	336	312		每相匝数
$r_{Do}$	69.6	82.9	mm	转子外径
$r_{Di}$	43	57	mm	转子内径
$h_{pm}$	3.7	3.2	mm	永磁体高度（厚度）
$h_{ag}$	1.7	1.55	mm	气隙
$J_l$	40.4	30	kA/m	线性电负荷
$B_{agsp}$	0.76	0.75	T	气隙磁通密度
$s_{Btp}$	1.55	1.67	T	定子齿磁通密度
$s_{Byp}$	1.56	1.49	T	定子轭磁通密度
$r_{Byp}$	1.44	1.65	T	转子轭磁通密度
$J_s$	5.3	4.94	A/mm²	定子电流密度
$L_{cpertau}$	1.9	1.6		铁芯叠片长度与极距之比
$q_1$	2	2		每极每相定子槽数
$cSpan$	0.83	0.83		线圈跨距与极距之比
$alpm$	0.91	0.91		永磁体宽度与极距之比
$Weight_{StCu}$	3.365	3.255	kg	线圈重量
$Weight_{IronUsed}$	15.268	16.961	kg	使用的铁重量
$Weight_{StIron}$	5.003	5.509	kg	定子叠片重量
$Weight_{PM}$	0.595	0.603	kg	永磁体重量
$Weight_{RtIron}$	1.372	1.712	kg	转子铁重量
$Weight_{Mot}$	10.336	11.079	kg	电机总重量
$I_{qn}$	3.9	3.81	A	额定电流
$V_{fn}$	220	220	V	额定电压
$P_{Cu}$	97.39	88.15	W	铜损耗
$P_{fe}$	38.76	41.2	W	铁损耗
$P_{mec}$	11	11	W	机械损耗
$E_{tan}$	93.73	94		效率
$C_{uc}$	33.649	32.547	USD	铜成本
$lam_{c}$	76.339	84.806	USD	使用的叠片成本
$PM_{c}$	29.772	30.173	USD	永磁体成本
$rot_{Ironc}$	6.8634	8.5575	USD	转子实心铁成本
$pm_{wc}$	51.679	55.395	USD	有源材料重量惩罚成本
$i_{cost}$	198.30	211.48	USD	初始材料成本
$energy_{c}$	220.73	210.52	USD	10年、每年1500小时运行的能量损失成本
$t_{cost}$	419.03	422.00	USD	总成本（目标函数）

9. 总结与展望

9.1 设计要点总结

表贴式永磁同步电机的优化设计是一个复杂的过程，涉及多个方面的考虑。以下是设计过程中的关键要点总结：
1. 设计主题明确 ：确定可变速度永磁同步电机的主要规格，如额定功率、额定转速、最大电压等，并考虑相关约束条件，如效率、绝缘等级、成本等。
2. 电磁负荷权衡 ：合理选择比电负荷、永磁气隙磁通密度、定子齿和轭磁通密度、电流密度等电磁负荷参数，在转矩密度、效率和铁芯损耗之间进行权衡。
3. 尺寸系数选择 ：通过选择合适的电机形状系数、永磁极弧系数、每极每相槽数等尺寸系数，优化电机的性能和结构。
4. 工艺约束考虑 ：考虑叠片铁芯填充系数、槽内铜填充系数、最小气隙等工艺约束，确保电机的制造可行性和可靠性。
5. 磁性材料选择 ：根据电机的工作要求，选择合适的永磁体和磁芯材料，考虑剩余磁通密度、矫顽力、饱和磁通密度和铁芯损耗等因素。
6. 尺寸计算精确 ：按照一定的步骤计算电机的尺寸参数，包括定子内径、极距、铁芯长度、永磁体厚度等，并进行迭代计算以确保永磁磁通的准确性。
7. 损耗和热验证 ：计算绕组损耗、铁芯损耗等功率损耗，并进行热验证，确保电机在运行过程中不会过热。
8. 优化算法应用 ：可以使用遗传算法或Hooke - Jeeves方法等优化算法，以总成本为目标函数，对电机的设计进行优化。

9.2 两种优化算法比较

遗传算法（GA）和Hooke - Jeeves方法在表贴式永磁同步电机的优化设计中都有应用，它们各有优缺点，具体对比如下：
| 比较项目 | 遗传算法（GA） | Hooke - Jeeves方法 |
| — | — | — |
| 变量范围 | 部分优化变量可能超出指定边界 | 优化变量严格在指定范围内 |
| 仿真时间 | 较长，约为Hooke - Jeeves算法的75倍 | 较短 |
| 初始成本 | 相对较小，可能是因为允许更大的线性电负荷 | 相对较大 |
| 电机效率 | 略低于Hooke - Jeeves算法设计的电机 | 较高 |
| 收敛特性 | 变量变化呈现离散值，收敛过程可能出现过早进化问题 | 变量变化呈现连续函数特征，搜索区域较大 |

9.3 未来展望

尽管在表贴式永磁同步电机的优化设计中已经取得了一定的成果，但仍有一些方面可以进一步改进和研究：
1. 考虑更多因素 ：目前的设计模型虽然考虑了磁饱和，但未考虑齿槽转矩、总转矩脉动等因素。未来可以将这些因素纳入设计模型，以提高电机的性能和稳定性。
2. 结合有限元软件 ：将解析优化设计方法与有限元软件相结合，进行更精确的验证和探索。有限元软件可以更准确地模拟电机的磁场分布和性能，有助于进一步优化电机设计。
3. 改进优化算法 ：继续改进优化算法，提高算法的收敛速度和搜索效率。可以尝试结合多种优化算法的优点，或者开发新的优化算法来解决电机设计中的复杂问题。
4. 新材料应用 ：随着材料科学的发展，不断有新的永磁材料和磁芯材料出现。研究和应用这些新材料，有望进一步提高电机的性能和效率。

9.4 设计流程总结

为了更清晰地展示表贴式永磁同步电机的优化设计流程，以下是一个mermaid格式的流程图：

graph LR
    A[确定设计主题和约束条件] --> B[选择电磁负荷和尺寸系数]
    B --> C[考虑工艺约束和选择磁性材料]
    C --> D[计算电机尺寸参数]
    D --> E[计算永磁磁通并迭代优化]
    E --> F[计算损耗和进行热验证]
    F --> G[选择优化算法进行优化设计]
    G --> H{是否满足设计要求}
    H -- 是 --> I[确定最终设计方案]
    H -- 否 --> B

通过以上流程，可以系统地进行表贴式永磁同步电机的优化设计，不断调整设计参数，以达到最佳的性能和成本效益。

总之，表贴式永磁同步电机的优化设计是一个不断发展和完善的领域，需要综合考虑多个因素，并采用合适的方法和工具进行设计和优化。未来的研究和实践将为电机的性能提升和应用拓展带来更多的可能性。