15、傅里叶、泰勒和麦克劳林级数及有限差分与插值知识详解

傅里叶、泰勒和麦克劳林级数及有限差分与插值知识详解

1. 傅里叶级数基础

傅里叶级数是分析周期性波形的重要工具。任何周期性波形 ( f(t) ) 都可以表示为：
[ f(t) = \frac{1}{2}a_0 + \sum_{n = 1}^{\infty}(a_n\cos(n\omega t) + b_n\sin(n\omega t)) ]
其中，( \frac{1}{2}a_0 ) 是常数，代表 ( f(t) ) 的直流（DC）分量，也就是平均值。系数 ( a_n ) 和 ( b_n ) 决定了不同频率分量的幅度，( a_1 ) 和 ( b_1 ) 对应的项代表基频分量 ( \omega )，( a_2 ) 和 ( b_2 ) 对应的项代表二次谐波分量 ( 2\omega )，以此类推。这些系数可以通过以下积分关系求得：
[ \frac{1}{2}a_0 = \frac{1}{2\pi}\int_{0}^{2\pi}f(t)dt ]
[ a_n = \frac{1}{\pi}\int_{0}^{2\pi}f(t)\cos(nt)dt ]
[ b_n = \frac{1}{\pi}\int_{0}^{2\pi}f(t)\sin(nt)dt ]

2. 不同对称性波形的傅里叶级数

• 奇对称波形 ：如果波形具有奇对称性，即 ( f(-t) = -f(t) )，那么其傅里叶级数只包含正弦项。例如，具有奇对称性的方波的傅里叶级数为：
  [ f(t) = \frac{4A}{\pi}\left(\sin(\omega t) + \frac{1}{3}\sin(3\omega t)