14、傅里叶、泰勒和麦克劳林级数的深入解析

傅里叶、泰勒和麦克劳林级数的深入解析

在信号处理、数学分析等众多领域，傅里叶级数、泰勒级数和麦克劳林级数是非常重要的工具。下面我们将详细探讨它们的相关知识。

1. 三角傅里叶级数的替代形式

当给定的波形没有任何对称性时，使用三角傅里叶级数的替代形式可能会更有优势。这种形式将相同频率的余弦和正弦项组合在一起，合并为一个单项，即余弦或正弦。不过，我们仍需分别计算 $a_n$ 和 $b_n$ 系数。

三角傅里叶级数的表达式为：
[f(t)=\frac{1}{2}a_0 + \sum_{n = 1}^{\infty}(a_n\cos(n\omega t)+b_n\sin(n\omega t))]

通过一些推导，我们可以得到其替代形式。例如，当 $\omega = 1$ 时：
[f(t)=\frac{1}{2}a_0+\sum_{n = 1}^{\infty}c_n\cos(n t - \theta_n)]
其中，$c_n=\sqrt{a_n^2 + b_n^2}$，$\theta_n=\arctan(\frac{b_n}{a_n})$。

下面通过一个例子来具体说明。对于图 6.21 所示的波形，我们来求其三角傅里叶级数替代形式的前 5 项。
- 步骤 1：判断波形特征
该波形没有对称性，所以我们预计会同时出现余弦和正弦函数的奇数和偶数项。通过观察可知，直流分量不为零。
- 步骤 2：计算系数
- 计算 $a_n$ 系数 ：
[a_n=\frac{1}{\pi