11、微分方程、状态变量与状态方程的数值分析

微分方程、状态变量与状态方程的数值分析

在处理微分方程时，我们常常会遇到各种不同的情况和方法。下面将详细介绍一些常见的方法及其应用。

1. 变参数法求强迫响应

在某些非齐次常微分方程（ODE）中，使用待定系数法无法确定方程右边的形式，这时就需要使用变参数法。该方法适用于所有线性方程，包括具有可变系数的方程。不过，这里的讨论将局限于具有常数系数的二阶ODE。

变参数法是将常数 (k_1) 和 (k_2) 替换为两个变量 (u_1) 和 (u_2)，它们需满足以下三个关系：
- (y = u_1y_1 + u_2y_2)
- (\frac{du_1}{dt}y_1 + \frac{du_2}{dt}y_2 = 0)
- (\frac{du_1}{dt}\frac{dy_1}{dt} + \frac{du_2}{dt}\frac{dy_2}{dt} = f(t))

通过联立求解前两个方程可得到 (\frac{du_1}{dt}) 和 (\frac{du_2}{dt}) 的值，然后对它们进行积分得到 (u_1) 和 (u_2)，最后将其代入 (y = u_1y_1 + u_2y_2) 即可得到总解。

示例 5.12

求方程 (\frac{d^2y}{dt^2} + 4\frac{dy}{dt} + 3y = 12) 的总解，分别使用待定系数法和变参数法。
- 步骤一：求自然响应
- 特征方程为 (s^2 + 4s + 3 = 0)，解得 (s_1 = -1)，(s_2 = -3)。
- 所以自然响应为 (y_N = k_1e^{