22、计算两种非线性度量的复杂度分析

计算两种非线性度量的复杂度分析

1. 引言

在许多密码学场景中，如流密码、分组密码和哈希，所使用的函数必须是确定性的，但又要在某种程度上“看起来”随机。为了衡量函数与线性函数的差异，我们引入了“非线性度量”。本文主要研究两种非线性度量：非线性度（nonlinearity）和乘法复杂度（multiplicative complexity）。

非线性度是指函数与最近仿射函数的汉明距离；乘法复杂度是指在基于 $(\land, \oplus, 1)$ 基的电路中计算该函数所需的最少与门数量。在实际应用中，很多情况下希望函数的非线性度高，例如高级加密标准（AES）的设计就要求部分组件具有高非线性度。

我们考虑函数的两种表示方式：真值表和计算该函数的电路。接下来将分析在这两种表示方式下，计算非线性度和乘法复杂度的难度。

2. 预备知识

• 基本定义
  • 设 $F_2$ 是大小为 2 的有限域，$F_2^n$ 是 $F_2$ 上的 $n$ 维向量空间，$B_n$ 是从 $F_2^n$ 到 $F_2$ 的布尔函数集合。
  • 若存在 $a \in F_2^n$，$c \in F_2$ 使得 $f(x) = a \cdot x + c$，则称 $f \in B_n$ 为仿射函数；若 $f(0) = 0$，则称 $f$ 为线性函数。
  • XOR - AND 电路是基于 $(\land, \oplus, 1)$ 基（在 $GF(2)$ 上运算）且扇入为 2 的电路。对于电路 $C$，设 $n$ 为输入数量，$m$ 为门的数量，记为 $|C