3、线性时间序列建模：从单变量到多变量回归分析

线性时间序列建模：从单变量到多变量回归分析

在数据分析和预测领域，线性回归模型是一种基础且广泛应用的工具。本文将深入探讨线性回归模型，包括线性单回归模型和多维线性回归模型，详细介绍其原理、参数估计方法以及模型表示。

1. 线性单回归模型

线性单回归模型用于描述一个自变量 (x) 和一个因变量 (y) 之间的线性关系。在这个模型中，我们首先需要计算一些关键的统计量，如 (S_{xy})。

• 计算 (S_{xy}) ：
  (S_{xy}=\sum_{i = 1}^{N}(x_{i}-\overline{x})(y_{i}-\overline{y})=\sum_{i = 1}^{N}x_{i}y_{i}-N\overline{x}\overline{y})
  这里，(\overline{x}) 和 (\overline{y}) 分别是 (x) 和 (y) 的样本均值，(N) 是样本数量。

• 参数估计 ：
  通过 (S_{xy}) 我们可以进一步估计模型的参数 (\alpha) 和 (\beta_1)。
  (\hat{\beta} 1=\frac{S {xy}}{S_{xx}})
  (\hat{\alpha}=\overline{y}-\hat{\beta}_1\overline{x})

• 线性单回归模型表示 ：
  最终，估计的线性单回归模型可以表示为：
  (y=\hat{\alpha}+\hat{\