14、矩阵分解定理及其应用

矩阵分解定理及其应用

1. 矩阵相关基础结论

在矩阵运算中，对于方程 (AB = I)，它会生成一系列方程。对于所有的 (i)，有 (b_{ii} = \frac{1}{a_{ii}})；对于 (j > i)，则有 (\sum_{k = i}^{j} a_{ik}b_{kj} = 0)，我们可以像练习中那样依次求解这些方程。若矩阵 (A) 的所有对角元素都为 1，那么 (|A| = 1)，且 (A^{-1} = C’)，其中 (C) 是伴随矩阵，并且每个代数余子式都是整数。

2. 对角化的充要条件

• 非奇异矩阵情形 ：存在非奇异矩阵 (T) 使得 (T^{-1}AT = \Lambda)（对角矩阵）的充要条件是存在一组 (n) 个线性无关的向量，且每个向量都是 (A) 的特征向量。
  • 证明思路 ：若 (A) 有 (n) 个线性无关的特征向量 (x_1, \cdots, x_n)，令 (T = (x_1, \cdots, x_n))，则 (AT = A(x_1, \cdots, x_n) = (\lambda_1x_1, \cdots, \lambda_nx_n) = T\Lambda)，所以 (T^{-1}AT = \Lambda)；反之，若 (AT = T\Lambda)，则 (A(T e_i) = \lambda_i(T e_i))，说明 (T) 的每一列都是 (A) 的特征向量，且由于 (T) 非奇异，这些特征向量线性无关。
• 酉矩阵情形 ：存在酉矩阵 (S)