21、对称三对角矩阵特征值与优化问题详解

对称三对角矩阵特征值与优化问题详解

1. 对称三对角矩阵特征值相关方法

在矩阵分析中，确定矩阵的特征值是一个重要的问题。对于对称三对角矩阵，有多种有效的方法来计算其特征值和特征向量。

1.1 Sturm序列

对于一个$n\times n$的对称三对角矩阵$A$，其特征多项式$P_n(\lambda) = |A - \lambda I|$可以通过以下Sturm序列的操作来计算：
- $P_0(\lambda) = 1$
- $P_1(\lambda) = d_1 - \lambda$
- $P_i(\lambda) = (d_i - \lambda)P_{i - 1}(\lambda) - c_{i - 1}^2P_{i - 2}(\lambda), i = 2, 3, \cdots, n$

其中，$d_i$是矩阵$A$的主对角线元素，$c_i$是次对角线元素。

Sturm序列具有一个重要的性质：序列$P_0(a), P_1(a), \cdots, P_n(a)$中的符号变化次数等于$P_n(\lambda)$中小于$a$的根的数量。如果序列中的某个成员$P_i(a)$为零，则其符号取与$P_{i - 1}(a)$相反的符号。

以下是实现Sturm序列计算的Python代码：

import numpy as np

def sturmSeq(d, c, lam):
    n = len(d) + 1
    p = np.ones(n)
    p[1] = d[0] - lam
    for i in