20、对称矩阵特征值问题的求解方法与应用

对称矩阵特征值问题的求解方法与应用

1. 对称矩阵特征值问题概述

在处理对称矩阵特征值问题时，我们常常会遇到标准形式 (Ax = \lambda x) 和非标准形式 (Ax = \lambda Bx)。对于非标准形式，我们可以通过一些方法将其转化为标准形式，例如使用 stdForm(A, B) 函数进行转换。以下是一个示例代码，展示了如何求解对称矩阵的特征值和特征向量：

import numpy as np
import math

# 假设 stdForm 和 jacobi 函数已定义
H, T = stdForm(A, B)  # Transform into std. form
lam, Z = jacobi(H)  # Z = eigenvecs. of H
X = np.dot(T, Z)  # Eigenvecs. of original problem
sortJacobi(lam, X)  # Arrange in ascending order of eigenvecs.
for i in range(3):
    # Normalize eigenvecs.
    X[:, i] = X[:, i] / math.sqrt(np.dot(X[:, i], X[:, i]))
print('Eigenvalues:\n', lam)
print('Eigenvectors:\n', X)

在某些实际问题中，如电路问题，特征值与圆频率相关，圆频率的计算公式为 (\omega_i = \sqrt{\lambda_i/LC})。

2.