18、两点边值问题的数值解法

两点边值问题的数值解法

在科学和工程领域，我们经常会遇到需要求解两点边值问题的情况。本文将详细介绍两种常用的数值解法：打靶法（Shooting Method）和有限差分法（Finite Difference Method），并通过具体的例子展示如何应用这些方法。

1. 打靶法

打靶法的核心思想是将两点边值问题转化为初值问题。对于二阶微分方程的两点边值问题，通常形式如下：
[
\begin{cases}
y’’ = f(x, y, y’) \
y(a) = \alpha \
y(b) = \beta
\end{cases}
]
我们尝试将其转化为初值问题：
[
\begin{cases}
y’’ = f(x, y, y’) \
y(a) = \alpha \
y’(a) = u
\end{cases}
]
关键在于找到合适的 (u) 值。可以通过试错法来寻找，但这种方法比较繁琐。更系统的方法是将确定 (u) 的问题看作是一个求根问题。因为初值问题的解依赖于 (u)，所以 (y(b)) 是 (u) 的函数，即 (y(b) = \theta(u))。那么 (u) 是方程 (r(u) = \theta(u) - \beta = 0) 的根，其中 (r(u)) 是边界残差。

对于非线性边值问题，我们可以使用 Ridder 算法来求解 (r(u) = 0)。具体步骤如下：
1. 指定起始值 (u_1) 和 (u_2)，它们必须包含方程 (r(u) = 0) 的根 (u)。
2. 应用 Ridder 方法求解 (r(