14、数值积分与多重积分方法详解

数值积分与多重积分方法详解

1. 数值积分基础

数值积分在数学和工程领域有着广泛的应用。例如，计算定积分 $\int_{1}^{\pi}\frac{\ln(x)}{x^{2}-2x + 2}dx$ 时，可以使用高斯 - 勒让德求积法。具体步骤如下：
- 使用两个节点 ：按照高斯 - 勒让德求积法的规则，选取合适的节点和权重进行计算。
- 使用四个节点 ：同样依据该求积法，采用四个节点进行更为精确的计算。

此外，还有高斯 - 拉盖尔求积法和高斯 - 切比雪夫求积法等。比如，使用高斯 - 拉盖尔求积法计算 $\int_{0}^{\infty}(1 - x^{2})^{3}e^{-x}dx$ ，使用高斯 - 切比雪夫求积法计算 $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{dx}{\sqrt{\sin x}}$ 。

在计算积分时，还需要考虑截断误差的问题。例如，对于 $\int_{0}^{\pi}\sin xdx$ 使用四个节点的高斯 - 勒让德求积法时，要确定其截断误差的边界。

以下是一些常见的积分计算问题及提示：
| 问题 | 提示 |
| ---- | ---- |
| $\int_{0}^{1}\frac{2x + 1}{\sqrt{x(1 - x)}}dx$ | 令 $x=\frac{1 + t}{2}$ |
| $\int_{0}^{\pi}\sin x\ln xdx$ | 计算到四位小数 |
| $\int_{0}^{\pi}x\sin xdx$ | 使用三个节点的高斯 - 勒让德求积法，计算