12、数值微分与积分：原理、方法及应用

数值微分与积分：原理、方法及应用

1. 数值微分

数值微分是通过离散数据来近似函数导数的方法。在实际应用中，由于函数可能没有解析表达式，或者计算其导数非常困难，数值微分就显得尤为重要。

1.1 误差分析示例

以函数 (f(x) = e^{-x}) 在 (x = 1) 处的二阶导数为例，使用中心差分公式计算。通过不同的 (h) 值，分别以六位和八位精度进行计算，结果如下表所示：
| (h) | 六位精度 | 八位精度 |
| ---- | ---- | ---- |
| 0.64 | 0.380 610 | 0.380 609 11 |
| 0.32 | 0.371 035 | 0.371 029 39 |
| 0.16 | 0.368 711 | 0.368 664 84 |
| 0.08 | 0.368 281 | 0.368 076 56 |
| 0.04 | 0.368 75 | 0.367 831 25 |
| 0.02 | 0.37 | 0.3679 |
| 0.01 | 0.38 | 0.3679 |
| 0.005 | 0.40 | 0.3676 |
| 0.0025 | 0.48 | 0.3680 |
| 0.00125 | 1.28 | 0.3712 |

在六位精度计算中，最优的 (h) 值为 0.08，结果精确到三位有效数字。这表明由于截断误差和舍入误差的综合影响，丢失了三位有效数字。当 (h) 大于最优值时，主导误差是截断误差；当 (h) 小于最优值时，舍入误差变得显著。八位精度计算的最佳结果精确到四位有效数字，由于