8、插值与曲线拟合：三次样条插值与最小二乘法拟合

插值与曲线拟合：三次样条插值与最小二乘法拟合

三次样条插值

三次样条插值是一种强大的全局插值方法，尤其在处理多个数据点时表现出色。与多项式相比，它“更硬”，即在数据点之间振荡的趋势更小。

三次样条的力学模型

三次样条的力学模型可以想象成一个薄的弹性梁，通过销钉固定在数据点上。由于梁在销钉之间没有负载，所以样条曲线的每一段都是一个三次多项式。在销钉处，斜率和弯矩（即二阶导数）是连续的，并且在两端的销钉处没有弯矩，因此样条的二阶导数在端点处为零，这样得到的曲线被称为自然三次样条，数据点也被称为样条的节点。

计算过程

1. 二阶导数的连续性 ：设样条在节点 $i$ 处的二阶导数为 $k_i$，根据二阶导数的连续性要求，有 $f_{i - 1, i}’‘(x_i) = f_{i, i + 1}’‘(x_i) = k_i$，且 $k_0 = k_n = 0$。
2. 二阶导数的表达式 ：利用拉格朗日两点插值，$f_{i, i + 1}’‘(x)$ 可以表示为线性形式：
   - $f_{i, i + 1}’‘(x) = k_i\ell_i(x) + k_{i + 1}\ell_{i + 1}(x)$，其中 $\ell_i(x) = \frac{x - x_{i + 1}}{x_i - x_{i + 1}}$，$\ell_{i + 1}(x) = \frac{x - x_i}{x_{i + 1} - x_i}$。
   - 所以 $f_{i, i + 1}’‘(x) = \frac{k_i(x - x_{i + 1}) - k_{i +