魔法数字
(magic.cpp/c/pas)
题目描述
在数论领域中, 人们研究的基础莫过于数字的整除关系。 一般情况下, 我
们说整除总在两个数字间进行,例如 a | b(a 能整除 b) 表示 b 除以 a 的余数为
0。
我们称一个数字 X 是魔法的,当且仅当 X 是整数,且它能被 K 及 K 以上
种一位数整除, 要求这若干种一位数均在 X 的十进制表示中出现。
给出整数 K、 L、 R,请你计算出在区间[L, R]中,有多少个魔法数字。
输入格式
一行三个整数 K、 L、 R。
输出格式
输出一行一个整数, 表示该区间内魔法数字的个数。
样例数据
magic.in
2 1 20
magic.out
2
【数据范围】
对于 30%的数据, 1 ≤ L ≤ R ≤ 105;
对于 50%的数据, 1 ≤ L ≤ R ≤ 106;
对于 70%的数据, 1 ≤ L ≤ R ≤ 109;
对于 100%的数据, 1 ≤ L ≤ R ≤ 1018、 0 ≤ K ≤ 9。
分析:60%:暴力。
100%:
代码
60%(本人考场所打):
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<cstring>
#include<string>
#include<ctime>
#include<cmath>
#include<algorithm>
#include<cctype>
#include<iomanip>
#include<queue>
#include<set>
using namespace std;
int k,l,r,ans;
int num[1000100];
int getint()
{
int sum=0,f=1;
char ch;
for(ch=getchar();(ch<'0'||ch>'9')&&ch!='-';ch=getchar());
if(ch=='-')
{
f=-1;
ch=getchar();
}
for(;ch>='0'&&ch<='9';ch=getchar())
sum=(sum<<3)+(sum<<1)+ch-48;
return sum*f;
}
bool check(int x,int m)
{
while(x)
{
int q=x%10;
if(q==m)
return true;
x=x/10;
}
return false;
}
int main()
{
freopen("magic.in","r",stdin);
freopen("magic.out","w",stdout);
k=getint();l=getint();r=getint();
for(int i=l;i<=r;++i)//把[1,r]所有数有多少个能除尽并且含有的数字都算出来,存在 num数组里
{
for(int j=1;j<=9;++j)
if(i%j==0&&check(i,j))
num[i]++;
}
for(int i=l;i<=r;++i)//枚举,如果num[i]>=k,那这个数就是满足的
if(num[i]>=k)
ans++;
printf("%d\n",ans);
return 0;
}
100%(dfs部分已经完全弄懂,注释添加完毕):
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<cstring>
#include<string>
#include<ctime>
#include<cmath>
#include<algorithm>
#include<cctype>
#include<iomanip>
#include<queue>
#include<set>
using namespace std;
int k;
long long l,r,ans,bit[20],dp[20][512][252][2];
int len,mark[20];
int getint()//读入优化1
{
int sum=0,f=1;
char ch;
for(ch=getchar();(ch<'0'||ch>'9')&&ch!='-';ch=getchar());
if(ch=='-')
{
f=-1;
ch=getchar();
}
for(;ch>='0'&&ch<='9';ch=getchar())
sum=(sum<<3)+(sum<<1)+ch-48;
return sum*f;
}
long long getlong()//读入优化2
{
long long sum=0;
int f=1;
char ch;
for(ch=getchar();(ch<'0'||ch>'9')&&ch!='-';ch=getchar());
if(ch=='-')
{
f=-1;
ch=getchar();
}
for(;ch>='0'&&ch<='9';ch=getchar())
sum=(sum<<3)+(sum<<1)+ch-48;
return sum*f;
}
void solve(long long x)//计算[0,x]中x的位数并存储每一位的数字
{
memset(mark,0,sizeof(mark));
memset(dp,-1,sizeof(dp));
for(int i=1;i<20;++i)
if(x<bit[i])
{
len=i;
break;
}
for(int i=len;i>=1;--i)
{
mark[i]=x%10;
x=x/10;
}
}
long long dfs(int pos,int vis,int mod,bool limit)//从最高位开始深搜(pos代表从最高位起第几位,vis是个九位二进制数,用来存前面枚举的数中出现过的数字,相当于一个九维数组,出现过的在对应位数上变为1,没出现过是0,mod是取模,就是题解中的p,limit判断是否封顶)
{
if(pos>len)//已经把整个数构建出来了,开始判断
{
int cnt=0;
if(vis&1)cnt++;//有没有1且被1整除(当然所有数被1整除)
if(vis&(1<<1)&&mod%2==0)cnt++;//有没有2且被2整除(vis&(1<<1)就是判断二进制数第2为是不是1,也就是判断2有没有出现过)
if(vis&(1<<2)&&mod%3==0)cnt++;//有没有3且被3整除
if(vis&(1<<3)&&mod%4==0)cnt++;//......
if(vis&(1<<4)&&mod%5==0)cnt++;
if(vis&(1<<5)&&mod%6==0)cnt++;
if(vis&(1<<6)&&mod%7==0)cnt++;
if(vis&(1<<7)&&mod%8==0)cnt++;
if(vis&(1<<8)&&mod%9==0)cnt++;
if(cnt>=k)return 1;//是否满足题意
else return 0;
}
mod%=252;//1到9的最小公倍数本来是2520,单独判断5和8可以压缩到252(mod就是题解中的p)
if(dp[pos][vis][mod][limit]!=-1)//若已经算过,直接返回值
return dp[pos][vis][mod][limit];
int end;
if(limit)//要是limit是true代表前面的数字已经封顶(如:右边界为152834,现在已经枚举到第四位而前三个数是152,也就是第四位只能枚举1到8)
end=mark[pos];
else
end=9;
long long res=0;
for(int i=0;i<=end;i++)//往下一位枚举深搜
res+=dfs(pos+1,i?(vis|(1<<i-1)):vis,mod*10+i,limit&&(i==end));//i?(vis|(1<<i-1)):vis的意思是若i有值就把vis对应第i位赋为1,若i=0就不用管直接把vis传递下去,mod*10+i意思是又新加入1位,之前的mod便升一位在个位加上i,limit&&(i==end)的意思是若前面的limit是true(也就是前面的数位封顶了)且i=end(也就是这一位也封顶了),那么给深搜的下一位传递已经封顶的true
dp[pos][vis][mod][limit]=res;//记忆
return dp[pos][vis][mod][limit];
}
int main()
{
freopen("magic.in","r",stdin);
freopen("magic.out","w",stdout);
k=getint();l=getlong();r=getlong();
bit[0]=1;
for(int i=1;i<20;++i)
bit[i]=bit[i-1]*10;//初始化用于判断数的位数的数组
solve(r);
ans=dfs(1,0,0,true);//先算[0,r]中的 magic number
solve(l-1);
ans-=dfs(1,0,0,true);//减去[0,l-1]中的 magic number
cout<<ans<<endl;//得到 ans
return 0;
}
本题结。