NOIP2016模拟-1014T２ Rabbit Number

最新推荐文章于 2021-01-28 22:04:44 发布

Hory丶炜

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分类专栏： NOIP 文章标签： NOIP模拟

本文链接：https://blog.youkuaiyun.com/qq_35680501/article/details/52815184

本文探讨了NOIP2016模拟比赛中关于Rabbit Number的问题，即找到(L,R)区间内满足数字和平方特性（S(x*x) = S(x)*S(x)）的数。解题关键发现每个Rabbit Number的每一位小于等于3，并且去掉末尾数字后仍为Rabbit Number。基于此规律，可以编写搜索算法求解。" 51999825,5603796,HDU 1241 油藏搜索：DFS应用解析,"['算法', '图论', '搜索']

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

10.14模拟T2-Rabbit Number

题目大意
设S(N)为N各位数字之和,如S(484) = 4 + 8 + 4 = 16;定义Rabbit Number为满足S(x*x) = S(x)*S(x)的数，问在(L,R)区间中有多少个Rabbit Number;

解题思路
首先我们可以先暴力打一个表,然后不难发现每一个Rabbit Number的每一位都小于等于3,并且每个Rabbit Number去掉末尾一些数后依旧是一个Rabbit Number.根据这个规律,只需要从0开始搜索,往高位进行进位,可以很容易打出代码：

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <cmath>
#define LL long long 
using namespace std;
int n,k,a,b;
LL sum(LL x) {
   
   
	int ans

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NOIP2016-J-3-海港思路

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<think>嗯，用户问的是NOIP2016提高组第三题“海港”的解题思路和算法分析。首先，我得回忆一下这个题目的具体要求。根据引用里的信息，题目大概是关于处理到达海港的船只，每艘船有乘客的国籍数据，需要实时统计最近24小时内的不同国籍数量。用户可能想要一个高效的算法，因为直接遍历所有乘客肯定会超时。首先，题目中的时间窗口是24小时，也就是86400秒。每次新船到达时，需要移除所有超过24小时的旧数据，然后统计剩下的国籍数。直接每次检查所有记录显然不行，时间复杂度会很高，特别是当数据量大时。那如何处理时间窗口呢？滑动窗口或者队列结构可能有用。因为每次新船到达时，只需要移除时间超过当前时间-86400的记录，这样可以用队列来维护乘客记录，保证队列里的时间都在窗口内。这样可以避免每次全量检查，只需从队头开始移除过期的。然后统计国籍数量。这里的问题是如何高效地维护国籍的出现次数。每添加一个乘客，对应国籍的计数加1；当移除过期乘客时，对应国籍的计数减1，当减到0时，总的国家数减1。这样需要维护一个哈希表或字典来记录每个国籍的数量。但乘客是按船到达的，而每艘船可能有多个乘客。所以可能需要将每个乘客的信息分开存储，或者按批次处理。比如，队列中的每个元素是一批乘客（同一艘船的），并记录他们的到达时间和国籍列表。当处理新船时，先检查队列头部的船是否超出时间窗口，如果是，就依次将这些乘客的国籍计数减少，直到所有过期的船都被移除。这样，每次处理新船时，需要先处理队列中过期的船，然后添加当前船的乘客，并更新国家计数。这样时间复杂度应该是线性的，因为每个乘客只会被加入和移除一次队列。可能的难点是，如何处理同一时间多艘船的情况，或者时间跨度较大的情况。比如，如果有很多船都在时间窗口内，那么队列中的元素可能很多，但每次处理时只需要移除超过时间窗口的部分，而不是全部。举个例子，假设当前时间是ti，那么队列中保存的是所有到达时间大于ti-86400的船。当新船到达时间ti时，我们需要将队列中所有时间<=ti-86400的船移除，并更新国籍计数。然后，将当前船的乘客加入队列，并更新计数。这样就能保证队列里的数据都在窗口内，统计国家数的时候只需查看当前哈希表中计数大于0的国家数量。这样，主要的数据结构是队列，每个元素包含时间和该船的所有乘客国籍，以及一个哈希表记录国籍的出现次数，还有一个变量记录当前的国家数量。另外，需要考虑时间ti的范围。题目中ti可能很大，但每次只需要比较相对时间差是否超过86400，所以不需要担心时间溢出问题。可能的优化点：队列中的每个元素可以存储该船的时间和国籍列表，这样处理过期船时，逐个出队，并减少对应国籍的计数。当国籍计数减到0时，总的国家数减1。现在，总结一下步骤： 1. 初始化一个队列，用来保存每艘船的到达时间和乘客国籍列表。 2. 维护一个哈希表（字典）记录每个国籍的出现次数。 3. 维护一个变量count记录当前的有效国家数。 4. 对于每艘新到达的船： a. 检查队列头部的船是否超过当前时间ti-86400。如果是，依次出队，并减少对应国籍的计数。如果某个国籍的计数减到0，则count减1。 b. 将当前船的乘客国籍加入哈希表，如果该国籍之前计数为0，则count加1。 c. 将当前船的信息入队。 d. 输出当前的count值。这样，每个乘客的国籍被处理两次（入队和出队），时间复杂度是O(K)，其中K是所有乘客的总数，应该可以通过题目中的时间限制。需要注意的点： - 处理时间时，要确保比较的是船的时间是否在窗口内。例如，当前船的时间是ti，那么窗口的有效范围是ti-86400+1到ti？或者ti-86400到ti？需要看题目具体要求，比如，是否包括刚好24小时前的船。比如，题目中的描述可能是“在24小时内的”，也就是ti - t <= 86400，或者严格小于？根据引用3中的样例输入，比如第一艘船时间1，第二艘船时间4，第三艘时间10。假设样例输出是3、4、4。这说明当第三艘船时间为10时，前两艘船是否在窗口内取决于窗口是否包含10-86400到10。但样例中的时间可能较小，所以需要明确比较条件是 ti - prev_t >=86400吗？比如，假设当前处理的时间是ti，那么队列中保留的是那些船的时间 > ti -86400。当处理新的ti时，将所有队列中时间<=ti -86400的船移除。例如，ti=86400，那么移除所有时间<=0的船。ti=86401，则移除时间<=1的船。这样，每个船在队列中的时间必须严格大于ti-86400，否则会被移除。所以在代码中，当处理新船时，先循环检查队列头部的船的时间是否<=当前ti -86400，如果是，就出队，并减少该船所有乘客的国籍计数，如果国籍计数减到0，则总count减1。然后处理当前船，将乘客国籍加入哈希表，若加入前计数为0，则count加1，然后将该船的信息入队。这样，每个乘客被处理两次，时间复杂度是线性的。所以，这样的算法应该可以满足题目的要求，避免超时。现在，用户可能还需要具体的代码实现，或者更详细的步骤解释。比如，如何处理队列中的每个船的数据结构，如何记录每个船的乘客国籍列表，以及如何维护哈希表和count变量。例如，在Python中，可以用一个deque作为队列，每个元素是（时间，国籍列表）。哈希表可以用字典。然后遍历每个新船，先处理过期数据，再处理当前数据。可能的代码结构： from collections import deque q = deque() nationality_count = {} current_count = 0 n = int(input()) for _ in range(n): ti, ki, *nationalities = map(int, input().split()) # 处理过期船只 while q and q[0][0] <= ti - 86400: old_t, old_nations = q.popleft() for nation in old_nations: nationality_count[nation] -= 1 if nationality_count[nation] == 0: current_count -= 1 # 处理当前船的乘客 new_nations = nationalities[:ki] for nation in new_nations: if nationality_count.get(nation, 0) == 0: current_count += 1 nationality_count[nation] = nationality_count.get(nation, 0) + 1 q.append( (ti, new_nations) ) print(current_count) 不过，这里需要注意，当处理旧的船只时，可能需要遍历该船的所有国籍，并逐个减少计数。例如，假设一个船有多个相同国籍的乘客，那么每个乘客都需要处理，不能合并，因为每个乘客的国籍都会影响计数。但是，如果同一艘船上有多个相同国籍的乘客，那么在出队时，每个都要减少一次计数。比如，如果一艘船有3个国籍为2的乘客，那么在移除该船时，国籍2的计数减3。当减到0时，current_count减1。但原题中的输入中，每艘船的ki个乘客可能有重复的国籍。例如，引用3中的样例输入： 3 1 4 4 1 2 2 2 2 2 3 10 1 3 其中第二艘船有ki=2，两个乘客国籍都是3。那么在处理这艘船时，加入哈希表中国籍3的计数是加2。当该船被移除时，国籍3的计数减2，如果原来计数是2，减后变为0，则current_count减1。所以，在队列中的每个元素需要保存该船的所有乘客国籍的列表，包括重复的国籍。例如，第一艘船的国籍列表是[4,1,2,2]，这样出队时，每个国籍都要处理一次。这样，如果同一艘船中有多个相同国籍的乘客，在出队时会逐个减少计数，可能导致多次减到0的情况，但实际上只有当最后一个减少到0时才需要调整current_count。比如，假设国籍2的当前计数是3，在出队时减去2次，变成1，那么current_count不需要变化。但如果减到0的话，就需要减少current_count。所以，代码中需要确保每个乘客的国籍都被处理，这样哈希表的计数正确，而current_count的增减只在计数从0到1或1到0的时候触发。所以，上述代码中的处理是正确的，因为当处理旧船时，遍历该船的所有国籍，逐个减少计数，如果某个nation的计数减到0，则current_count减1。但是在加入新船时，可能多个相同国籍的乘客被加入，此时，只有当该国籍的计数从0变为1时，current_count才加1。其他情况下（比如原本已经有该国籍的计数），current_count不变。这样，current_count始终维护的是当前不同国籍的数量。这个逻辑是正确的。综上，解题思路是使用队列维护时间窗口内的船只，哈希表维护国籍的出现次数，并在处理每艘新船时，先移除过期的船，再添加当前船的乘客国籍，最后输出当前的国籍数量。</think>### NOIP2016提高组第三题'海港'解题思路 #### 问题分析题目要求统计每艘船到达后，过去24小时内所有乘客的不同国籍数量[^3]。核心挑战在于高效处理时间窗口内的数据，避免暴力遍历导致超时。 #### 算法设计 1. **滑动窗口**：使用队列维护时间窗口内的船只信息。每次新船到达时，移除所有超过24小时的旧数据。 2. **哈希表计数**：记录每个国籍的乘客数量。当某国籍的计数从0变为1时，总国家数加1；当计数减到0时，总国家数减1。 #### 具体步骤 1. **初始化队列和哈希表**： - 队列存储船只的到达时间和乘客国籍列表。 - 哈希表`nationality_count`记录国籍出现次数。 - 变量`current_count`表示当前有效国家数。 2. **处理每艘船**： - **移除过期数据**：检查队列头部船只的时间是否超过当前时间$t_i - 86400$，若过期则出队，并减少对应国籍计数。若某国籍计数归零，则`current_count`减1。 - **添加新数据**：将当前船的乘客国籍加入哈希表。若国籍计数从0变为1，则`current_count`加1。 - **输出结果**：每处理完一艘船，输出`current_count`。 #### 代码示例 ```python from collections import deque q = deque() nationality_count = {} current_count = 0 n = int(input()) for _ in range(n): data = list(map(int, input().split())) ti, ki = data[0], data[1] nations = data[2: 2 + ki] # 移除过期船只 while q and q[0][0] <= ti - 86400: old_t, old_nations = q.popleft() for nation in old_nations: nationality_count[nation] -= 1 if nationality_count[nation] == 0: current_count -= 1 # 处理当前船只 for nation in nations: if nationality_count.get(nation, 0) == 0: current_count += 1 nationality_count[nation] = nationality_count.get(nation, 0) + 1 q.append((ti, nations)) print(current_count) ``` #### 复杂度分析 - 时间复杂度：$O(K)$，其中$K$为总乘客数，每个乘客仅被加入和移除队列一次。 - 空间复杂度：$O(K)$，队列和哈希表存储所有乘客信息。 #### 优化点 1. **合并重复国籍**：若同一艘船的乘客国籍重复，可合并计数减少操作次数。 2. **延迟删除**：在极端时间跨度下，队列可能存储大量过期数据，但实际操作中队列长度受窗口限制，无需额外优化[^1]。