Acwing 196.质数距离 197.阶乘分解

196.质数距离

题目描述

给定两个整数L和U，你需要在闭区间[L,U]内找到距离最接近的两个相邻质数C1和C2（即C2-C1是最小的），如果存在相同距离的其他相邻质数对，则输出第一对。

同时，你还需要找到距离最远的两个相邻质数D1和D2（即D1-D2是最大的），如果存在相同距离的其他相邻质数对，则输出第一对。

输入格式

每行输入两个整数L和U，其中L和U的差值不会超过1000000。

输出格式
对于每个L和U ，输出一个结果，结果占一行。

结果包括距离最近的相邻质数对和距离最远的相邻质数对。（具体格式参照样例）

如果L和U之间不存在质数对，则输出“There are no adjacent primes.”。

数据范围

1≤L<U≤2^31−1

输入样例：

2 17
14 17

输出样例：

2,3 are closest, 7,11 are most distant.
There are no adjacent primes.

题目分析：由于L、R的范围太大，所以我们不可能用线性筛法去求出所有的素数，然后比较；但是题目中还有一个信息，那就是L到R的距离最多为10^6，而且我们知道一点：一个合数n一定存在一个小于等于√n的质因子，所以我们可以求出质因子p，然后根据质因子p找出[L,R]中所有的合数，那么剩下的就是质数了。
现在问题是如何根据质因子p(对于质因子p，我们可以根据线性筛法找到[1,50000]中所有的质数，因为2^31开根号大约为50000)找出合数。
我们的目的是要找到p的倍数，首先先找到[L,R]中最小的p的倍数的数作为起点，设x>=L，x最小且x能被p整除，则x=floor(L/p)*p(floor指的是下取整），那么转化为上取整就是x=(L+p-1)/p*p(ceil()指的是上取整)，已知起点遍历即可，详情看代码~
代码：

#include <bits/stdc++.h>
#define INF 0x3f3f3f3f
using namespace std;
#define N 1000010
bool vis[N];
long long int prime[N],cnt;
void Prime(int n)
{
    memset(vis,false,sizeof(vis));//全部初始化为是素数
    vis[0]=true;
    vis[1]=true;
    cnt=0;
    for(int i=2; i<=n; i++)
    {
        if(!vis[i])
            prime[cnt++]=i;
        for(int j=0; j<cnt&&i*prime[j]<=n; j++)
        {
            vis[i*prime[j]]=true;
            if(i%prime[j]==0)
            {
                break;
            }
        }
    }
}
int main()
{
    int l,r;
    while(cin>>l>>r)
    {
        Prime(50000);
        memset(vis,false,sizeof(vis));//重复利用vis数组
        for(int i=0; i<cnt; i++)
        {
            long long p=prime[i];
            /*检索[l,r]上p的倍数，并标记为合数,有可能会碰到l=1(l,r很小，p在l到r的范围内）的情况，即j=p，
            这样就会误把质数p标记为合数，所以要至少从2*p开始*/
            for(long long int j=max(2*p,(l+p-1)/p*p); j<=r; j+=p)
            {
                vis[j-l]=true;//标记为合数,并离散化,因为l和r的范围很大，有10的9次方级别，所以要进行离散化处理，否则会超数组范围
            }
        }
        cnt=0;//重复利用cnt
        for(int i=0; i<=r-l; i++)
        {
            if(!vis[i]&&i+l>=2)//1即不是合数也不是质数，所以要特判
            {
                prime[cnt++]=i+l;
            }
        }

        if(cnt<2)
        {
            cout<<"There are no adjacent primes."<<endl;
        }
        else
        {
            int maxx=0,minn=0;
            for(int i=0; i<cnt-1; i++)
            {
                int d=prime[i+1]-prime[i];
                if(d>prime[maxx+1]-prime[maxx]) maxx=i;
                if(d<prime[minn+1]-prime[minn]) minn=i;
            }
            printf("%lld,%lld are closest, %lld,%lld are most distant.\n",prime[minn],prime[minn+1],prime[maxx],prime[maxx+1]);
        }
    }
    return  0;
}

197. 阶乘分解

题目描述

给定整数 N ，试把阶乘 N! 分解质因数，按照算术基本定理的形式输出分解结果中的 pi 和 ci 即可。

输入格式

一个整数N。

输出格式

N! 分解质因数后的结果，共若干行，每行一对pi,ci，表示含有pi和ci项。按照pi从小到大的顺序输出。

数据范围
1≤N≤106

输入样例：

5

输出样例：

2 3
3 1
5 1
样例解释
5!=120=23∗3∗5

题目分析：首先找出1-n中所有的质数(线性筛法），1-n中所有质数必然全部都为n!的质因子。首先我们要先知道1-n中有多少个p(1-n中的质数）的倍数，1-n中有ceil(n/p)个p的倍数,每个p的倍数都至少存在一个p的指数次方，每个p的平方都至少存在两个p的指数次方，每个p的三次方都至少存在三个p的指数次方…，所以p的ci等于
(在计算ceil(n/p)时相当于漏算了一个p^2的指数次，两个p ^3的指数次。。。）
代码：

#include <bits/stdc++.h>
#define INF 0x3f3f3f3f
using namespace std;
#define N 1000010
int vis[N];
int prime[N],cnt;
void Prime(int n)
{
    memset(vis,0,sizeof(vis));
    vis[1]=1;
    for(int i=2;i<=n;i++)
    {
        if(!vis[i])
        {
            prime[cnt++]=i;
        }
        for(int j=0;j<cnt&&i*prime[j]<=n;j++)
        {
            vis[i*prime[j]]=1;
            if(i%prime[j]==0)
            {
                break;
            }
        }
    }
}
int main()
{
    int n;
    cin>>n;
    Prime(n);
    for(int i=0;i<cnt;i++)
    {
        int t=n,p=prime[i];
        int sum=0;
        while(t)
        {
            sum+=t/p;
            t/=p;//代替n/p,n/(p^2),n/(p^3)....
        }
        cout<<p<<" "<<sum<<endl;
    }
    return  0;
}