15、几何理论：连续与离散动力系统的深入剖析

几何理论：连续与离散动力系统的深入剖析

1. 动力系统简介

动力系统的研究常从自治常微分方程开始，其一般形式为：
$\dot{x} = f(x)$
这里$f : O \to R^m$是光滑函数，$O$是$R^m$中的开集。

• 轨迹与轨道

  • 设$\psi(t)$是方程在$t \in (\alpha, \omega)$上的解，其在$O \times (\alpha, \omega) \subset R^{m + 1}$（位置 - 时间空间）中的图像${(t, \psi(t)) : t \in (\alpha, \omega)}$是解的几何表示。
  • 参数化曲线$\psi(t)$被称为轨迹，而有向但未参数化的曲线$\psi(t)$被称为轨道。轨道是集合${\psi(t) : t \in (\alpha, \omega)}$，其方向来自$(\alpha, \omega)$在$R$中的方向。
  • 若两条解曲线$\psi_1(t)$和$\psi_2(t)$在某点相遇，即$\psi_1(t_1) = \psi_2(t_2)$，那么它们只是时间平移的关系，在$O$中具有相同的轨道，这意味着轨道在$O$中不会相交。

• 解的性质

  • 设$\varphi(t, \xi)$是方程的通解，满足$\varphi(0, \xi) = \xi$。若$\varphi(\tau, \xi)$和$\varphi(t + \tau, \xi)$