11、多状态系统可靠性分析中的UGF方法解析

多状态系统可靠性分析中的UGF方法解析

一、组合算子的性质

组合算子 (f\otimes) 的性质严格依赖于函数 (f(X_1, \ldots, X_n)) 的性质。由于该算子中概率相乘的过程具有交换性和结合性，若函数 (f) 也具备这些性质，那么整个算子也会拥有这些特性。

1. 递归形式与u - 函数的获取

   • 若 (f(X_1, X_2, \ldots, X_n) = f(f(X_1, X_2, \ldots, X_{n - 1}), X_n))，则可以通过连续应用算子 (f\otimes) 来获取 (u) - 函数 (U(z))。具体步骤为：先令 (U_1(z) = u_1(z))，然后对于 (2\leq j\leq n)，有 (U_j(z) = f\otimes (U_{j - 1}(z), u_j(z)))，最终 (U(z) = U_n(z))。
   • 例如，对于变量 (X_1, X_2, X_3)，其 (u) - 函数分别为 (u_1(z) = 0.6z^{P5} + 0.3z^{P8} + 0.1z^{P12})，(u_2(z) = 0.7z^{P8} + 0.3z^{P10})，(u_3(z) = 0.6z^{P0} + 0.4z^{P1})。函数 (Y = \min(X_1, X_2, X_3)) 具有交换性和结合性，其 (u) - 函数可以通过递归过程获得。
     • 首先计算 (u_4(z)=u_1(z) \otimes_{\min} u_2(z))：
       [
       \begin{align }
       u_4(z