13、卡尔曼平滑器：深入理解与应用

卡尔曼平滑器：深入理解与应用

1 引言

卡尔曼平滑器（Kalman Smoother）是一种强大的工具，用于在离散时间区间上利用所有可用的数据信息（包括过去、现在和未来的信息）对状态向量进行最佳估计。与实时估计不同，卡尔曼平滑器能够利用完整的历史数据来提供更精确的状态估计，尤其适用于需要事后分析的应用场景，如卫星轨道确定。

2 卡尔曼平滑器的基本概念

假设在一个离散时间区间 ({1, 2, \cdots, N}) 上有数据信息可用。对于任意 (K) 且 (1 \leq K < N)，使用该时间区间上的所有数据信息对状态向量 (x_K) 的最佳估计 (\hat{x}_K|_N) 被称为 (x_K) 的（数字）平滑估计。这种估计方法不仅考虑了当前和过去的数据，还结合了未来的信息，从而提高了估计的准确性。

2.1 平滑估计的递归算法

为了找到最优平滑估计 (\hat{x}_K|_N)，其中最优性指的是最小误差方差，可以通过结合“前向”和“后向”估计来实现。具体递归算法如下：

1. 前向估计 ：使用数据信息 ({v_1, \ldots, v_K}) 得到的卡尔曼滤波估计 (\hat{x}^f_K)。
2. 后向预测 ：使用数据信息 ({v_{K+1}, \ldots, v_N}) 得到的“后向”最优预测 (\hat{x}^b_K)。
3. 最优平滑估计 ：通过以下递归算法结合所有数据信息获得 (\hat{x}_K|_N)：
   [
   \begin