8、扩展卡尔曼滤波器及其应用

扩展卡尔曼滤波器及其应用

1. 扩展卡尔曼滤波器简介

卡尔曼滤波器（Kalman Filter）是一种用于动态系统状态估计的递归算法，特别适用于线性系统。然而，当面对非线性系统时，传统的卡尔曼滤波器不再适用。此时，扩展卡尔曼滤波器（Extended Kalman Filter, EKF）成为一种有效的替代方案。EKF通过在每个时间步对非线性系统进行局部线性化，从而近似地解决了非线性问题。

1.1 非线性系统的线性化

考虑一个非线性系统的状态空间描述：
[ \begin{cases}
x_{k+1} = f(x_k) + H_k(x_k)\xi_k \
v_k = g(x_k) + \eta_k
\end{cases} ]

其中，( f(x_k) ) 和 ( g(x_k) ) 是非线性函数，( \xi_k ) 和 ( \eta_k ) 是噪声项。EKF通过在当前状态估计 ( \hat{x}_k ) 处对 ( f(x_k) ) 和 ( g(x_k) ) 进行泰勒展开，得到线性化后的系统模型：
[ \begin{cases}
f(x_k) \approx f(\hat{x}_k) + A_k (x_k - \hat{x}_k) \
g(x_k) \approx g(\hat{x}_k) + C_k (x_k - \hat{x}_k)
\end{cases} ]

其中，( A_k ) 和 ( C_k ) 分别是 ( f(x_k) ) 和 ( g(x_k) ) 在 ( \hat{x}_k ) 处的雅可比矩阵。

1.2 EKF算法步骤