30、卡尔曼滤波器及其计算问题探讨

卡尔曼滤波器及其计算问题探讨

1. 卡尔曼滤波器概述

卡尔曼滤波器是一种用于最优估计未知真实状态向量 (x(k)) 的算法。它基于过程动力学知识和测量输出 (y(k))，结合过程噪声 (𝑤(k)) 和测量噪声 (𝑣(k)) 的统计特性进行迭代估计，最终得到后验估计 (\hat{x}(k)^+)。

1.1 卡尔曼滤波器的关键特性

• 增益计算 ：卡尔曼滤波器增益 (K(k)) 通过在采样时刻 (k) 最小化目标函数 (J(k)) 获得，其中 (J(k)) 为 (x(k)) 与 (\hat{x}(k)^+) 之间误差方差的总和。
• 问题解决能力 ：可以通过增广状态空间模型解决传感器偏差和负载干扰问题，将这些未知变量纳入状态向量。
• 适应性 ：经过一些小的修改，卡尔曼滤波器算法能够处理缺失数据，并在多速率采样环境中运行。
• 非线性系统估计 ：扩展卡尔曼滤波器是估计非线性系统状态的有效工具。
• 性能调整 ：具有渐消记忆的卡尔曼滤波器为调整滤波器性能提供了额外手段。

1.2 思考问题

以下是一些关于卡尔曼滤波器的思考问题：
1. 对于系统 (x(k) = 0.8x(k - 1) + 0.6u(k - 1) + 𝑤(k - 1); y(k) = x(k) + 𝑣(k))，其中 (𝑤(k)) 和 (𝑣(k)) 是独立的白噪声，方