3、卡尔曼滤波：从正交投影到实时应用

卡尔曼滤波：从正交投影到实时应用

1. 最优估计的正交性特征

卡尔曼滤波的核心思想之一是通过最小化估计误差的方差来获得最优估计。为了实现这一目标，首先需要理解最优估计的正交性特征。正交性特征指的是，对于任何给定的估计值，最优估计与其误差之间是正交的。这意味着估计值和误差之间的协方差为零，从而确保估计值是最小方差估计。

在卡尔曼滤波中，我们使用正交投影来推导滤波方程。具体来说，给定一组观测数据，我们可以通过正交投影将观测数据投影到估计值的空间中，使得估计值和误差之间的协方差最小。这一过程不仅简化了推导过程，而且确保了估计值的最优性。

正交性特征的数学描述

设 ( \hat{x}_k ) 是状态向量 ( x_k ) 的估计值，( e_k = x_k - \hat{x}_k ) 是估计误差。根据正交性特征，我们有：

[ \mathbb{E}[(x_k - \hat{x}_k) \cdot (\hat{x}_k - \mathbb{E}[\hat{x}_k])] = 0 ]

这意味着估计值和误差之间的协方差为零，从而确保了估计值的最优性。

2. 创新序列

创新序列（innovation sequence）是卡尔曼滤波中的一个重要概念，它指的是观测值与预测值之间的差异。创新序列在卡尔曼滤波中起到了关键作用，因为它提供了新的信息，使得我们可以不断更新估计值，从而提高估计精度。

创新序列的定义

设 ( v_k ) 是观测值，( \hat{v}_k ) 是预测值，则创新序列 ( z_k ) 定义为：

[ z_k = v_k -