卡尔曼滤波与计算机视觉应用解析

87、描述如何使用线性状态模型（非扩展）卡尔曼滤波器跟踪圆周（非线性）运动。提示：如何对其进行预处理以恢复线性动力学？

对于非线性问题，可尝试线性化相关过程，如在使用卡尔曼滤波器处理非线性运动时，可对更新 $ F $ 或控制输入响应 $ B $ 进行线性化，在每个时间步根据状态 $ x $ 计算 $ F $ 和 $ B $ 的新值，这些值只是在特定 $ x $ 值附近近似真实的更新和控制函数，在实践中通常足够。

88、卡尔曼滤波器依赖于线性动力学和马尔可夫独立性（即它假设当前状态仅取决于上一时刻的状态，而非所有过去的状态）。假设你想跟踪一个物体，其运动与它的前一个位置和前一个速度有关，但你错误地只包含了状态依赖于前一个位置的动力学项，换句话说，忘记了前一个速度项。卡尔曼假设是否仍然成立？如果成立，请解释原因；如果不成立，请解释假设是如何被违反的。

卡尔曼假设不成立的原因

卡尔曼滤波器要求当前状态仅取决于上一时刻的状态，且动力学模型应准确反映状态之间的关系。

在本题中，物体的实际运动与前一个位置和前一个速度有关，而在构建动力学模型时只包含了前一个位置的动力学项，遗漏了前一个速度项，这使得所构建的动力学模型不能准确描述物体的运动状态。

即模型没有完整地体现出当前状态（物体的运动）与上一时刻状态（前一个位置和前一个速度）的真实依赖关系，违反了卡尔曼滤波器关于准确线性动力学的假设，所以卡尔曼假设不成立。

89、当你忘记动力学中的某些项时，如何让卡尔曼滤波器仍能进行跟踪？提示：考虑噪声模型。

需考虑噪声模型来解决该问题，可能通过调整噪声参数等方式使卡尔曼滤波器仍能跟踪。

90、使用网络摄像头或一段有人挥舞两个颜色鲜艳物体（每只手各持一个）的视频，使用凝聚算法来跟踪两只手。

可按以下步骤操作：

1. 准备好网络摄像头或包含人挥舞两个颜色鲜艳物体的视频。
2. 实现凝聚算法，该算法通常基于粒子滤波，通过一系列粒子来表示目标状态的概率分布。
3. 对视频帧进行处理，识别出两个颜色鲜艳物体所在的区