卡尔曼滤波算法详细推导

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#滤波算法 #卡尔曼滤波

于 2018-09-27 16:44:39 首次发布
一、预备知识

1、协方差矩阵

    X是一个n维列向量，u_i是x_i的期望，协方差矩阵为

             P=E[(X-E[X])(X-E[X])^T] 

                =\begin{bmatrix} E[(x_1-u_1)(x_1-u_1)]& E[(x_1-u_1)(x_2-u_2)]& ...& E[(x_1-u_1)(x_n-u_n)]&\\ E[(x_2-u_2)(x_1-u_1)]& E[(x_2-u_2)(x_2-u_2)]& ...& E[(x_2-u_2)(x_n-u_n)]\\ ...& ...& ...& ...&\\ E[(x_n-u_n)(x_1-u_1)]& E[(x_n-u_n)(x_2-u_2)]& ...& E[(x_n-u_n)(x_n-u_n)]& \end{bmatrix}

      可以看出

   协方差矩阵都是对称矩阵且是半正定的  

   协方差矩阵的迹tr(P)是X的均方误差

2、用到的两个矩阵微分公式

     公式一：

          \frac{\partial tr(AB)}{\partial A}=B^T

     公式二：若B是对称矩阵，则下式成立

          \frac{\partial tr(ABA^T)}{\partial A}=2AB         

tr表示矩阵的迹，具体推导过程参考相关矩阵分析教程  

二、系统模型与变量说明

1、系统离散型状态方程如下

     由k-1时刻到k时刻，系统状态预测方程

      X_k = AX_{k-1}+Bu_k +w_k

    系统状态观测方程

     Z_k=HX_k+v_k

2、变量说明如下

    A：状态转移矩阵

    u_k：系统输入向量

    B：输入增益矩阵

    w_k：均值为0，协方差矩阵为Q，且服从正态分布的过程噪声

    H：测量矩阵

   

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