1、卡尔曼滤波入门指南

卡尔曼滤波入门指南

1. 矩阵和行列式基础知识

在深入探讨卡尔曼滤波之前，我们需要掌握一些基础的数学工具。这部分内容主要涉及矩阵和行列式的知识，特别是正定矩阵和非负定矩阵的性质。这些概念对于理解和实现卡尔曼滤波算法至关重要。

1.1 正定矩阵与非负定矩阵

正定矩阵和非负定矩阵是卡尔曼滤波中经常遇到的两类矩阵。正定矩阵（Positive Definite Matrix）具有以下性质：
- 对于所有非零向量 ( \mathbf{x} )，( \mathbf{x}^\top A \mathbf{x} > 0 )。
- 所有特征值均为正数。

非负定矩阵（Non-negative Definite Matrix）则满足：
- 对于所有向量 ( \mathbf{x} )，( \mathbf{x}^\top A \mathbf{x} \geq 0 )。
- 所有特征值均为非负数。

这些性质有助于我们在卡尔曼滤波中进行误差协方差矩阵的计算和处理。

1.2 Schwarz不等式及其矩阵推广

Schwarz不等式是线性代数中的一个重要不等式，它在矩阵环境中也有推广形式——矩阵Schwarz不等式。具体来说，对于任意两个矩阵 ( P ) 和 ( Q )，若 ( P^\top P ) 是非奇异的，则有：

[ Q^\top Q \geq (P^\top Q)^\top (P^\top P)^{-1} (P^\top Q) ]

这个不等式在卡尔曼滤波中用于优化和验证算法的有效性。

2. 概率论的基本概念