2、卡尔曼滤波入门指南：预测与校正的艺术

卡尔曼滤波入门指南：预测与校正的艺术

1 引言

卡尔曼滤波是一种强大的工具，广泛应用于从导航系统到金融市场的各个领域。它通过递归地结合预测和校正步骤，提供了对动态系统的最优状态估计。本文将带你深入了解卡尔曼滤波的基本原理，从最基础的假设开始，逐步推导出其核心算法。

2 基础假设

卡尔曼滤波的推导始于几个关键假设。为了简化推导过程，我们假设某些矩阵是可逆的。这些假设使得我们可以使用最小二乘无偏估计（BLUE）来推导出最优的权重矩阵，并基于所有可用的数据信息来优化估计过程。具体来说：

• 假设1 ：某些矩阵（如系统矩阵 (A_k) 和观测矩阵 (C_k)）是可逆的。
• 假设2 ：噪声序列是零均值高斯白噪声，具有已知的协方差矩阵 (Q_k) 和 (R_k)。
• 假设3 ：初始状态 (x_0) 的均值和协方差是已知的。

这些假设不仅简化了推导过程，还确保了卡尔曼滤波器的最优性。接下来，我们将通过具体的数学推导来理解这些假设是如何帮助我们构建卡尔曼滤波器的。

3 模型描述

考虑一个具有状态空间描述的线性系统，该系统包括状态方程和观测方程。状态方程描述了系统状态的演化，而观测方程则描述了如何从观测数据中获取系统状态的信息。

3.1 状态方程

状态方程描述了系统状态随时间的变化。对于离散时间系统，状态方程可以表示为：

[ x_{k+1} = A_k x_k + B_