离散高斯抽样(Discrete Gaussian Sampling)

离散高斯抽样是一种在密码学中应用广泛的随机采样方法,遵循高斯分布,特别适用于基于格的加密和数字签名。它在离散集合上生成符合高斯特性的随机元素,增强密码安全。

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离散高斯抽样

离散高斯抽样(Discrete Gaussian Sampling)是一种常见于密码学和数学领域的随机采样方法。它通常用于构建基于格(lattice)的密码学方案,如基于格的加密和数字签名。Discrete Gaussian Sampling 的主要目的是从一个离散的集合中随机选择元素,同时遵循高斯分布(Gaussian distribution)的统计特性。

以下是 Discrete Gaussian Sampling 的一些关键概念和特点:

高斯分布: 高斯分布,又称正态分布,是概率论中的一种常见分布,它具有钟形曲线的形状。在 Discrete Gaussian Sampling 中,我们希望从一个离散的集合中按照高斯分布的方式随机选择元素。

离散集合: Discrete Gaussian Sampling 通常应用于离散集合,如整数或格点(lattice points)。这些集合中的元素通常表示为向量或多维点。

抽样参数: 抽样的高斯分布通常由两个主要参数来描述,即均值(mean)和标准差(standard deviation)。这些参数影响了高斯分布的形状和分布的"宽度"。在 Discrete Gaussian Sampling 中,这些参数通常与具体的密码学方案相关。

离散高斯分布: 在 Discrete Gaussian Sampling 中,高斯分布的离散性质意味着我们只能从离散集合中选择元素,而不是连续的实数。这使得在离散集合上采样并模拟高斯分布的难度增加。

密码学应用: 离散高斯抽样在密码学中具有广泛应用,特别是在基于格的密码学中。它用于生成随机的错误项,以增加密码方案的安全性。这些错误项的分布通常基于离散高斯分布,使得攻击者难以分辨有效信息和随机噪声。

总之,离散高斯抽样是一个在密码学和数学领域中重要的概念,用于生成满足高斯分布统计特性的离散值,以增加密码方案的安全性。它是许多基于格的密码学方案的基础之一。

### 离散高斯分布概述 #### 定义 离散高斯分布是在密码学等领域中广泛应用的一种特殊形式的高斯分布。与普通的连续高斯分布不同,离散高斯分布在数值上定义其概率质量函数。这种分布通常用于描述在一个有限集合内选取样本的情况,在此情况下所选样本遵循近似于理想化连续高斯分布的形式[^2]。 #### 性质 离散高斯分布具有如下特性: - **集中趋势**:尽管是离散化的版本,该分布仍然保持围绕某个特定值(类似于均值)的高度聚集特征。 - **宽度控制**:通过调参数可以改变分布的形态;较小的标准差使得大多数概率集中在少数几个点附近,而较大的标准差则会使概率更加均匀地散布在个支持域上[^3]。 - **逼近行为**:当网间距变得非常小时,离散高斯分布能够很好地逼近对应的连续高斯分布[^4]。 ```python import numpy as np from scipy.stats import norm, rv_discrete def discrete_gaussian(mean=0, sigma=1, size=1000): # Generate continuous samples from a normal distribution cont_samples = norm.rvs(loc=mean, scale=sigma, size=size*10) # Discretize the samples by rounding to nearest integer disc_samples = np.round(cont_samples).astype(int) # Create a custom discrete random variable with these values and their frequencies unique_vals, counts = np.unique(disc_samples, return_counts=True) pmf = counts / sum(counts) dgauss = rv_discrete(name='dgauss', values=(unique_vals, pmf)) return dgauss.rvs(size=size) # Example usage of generating discrete Gaussian distributed data points data_points = discrete_gauss() print(data_points[:10]) # Print first ten generated numbers for demonstration purposes. ``` #### 应用 离散高斯分布在现代加密技术中有重要地位,尤其是在构建基于理论的安全协议方面表现出色。例如,在某些公钥加密方案以及签名算法的设计过程中,利用了离散高斯分布来生成密钥材料或噪声项,从而增强了系统的抗攻击能力并提供了更好的性能表现。
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