大数取模运算Barrett reduction

最新推荐文章于 2024-01-27 17:38:03 发布
原创 最新推荐文章于 2024-01-27 17:38:03 发布 · 1.9k 阅读 · 8 ·
CC 4.0 BY-SA版权
版权声明：本文为博主原创文章，遵循 CC 4.0 BY-SA 版权协议，转载请附上原文出处链接和本声明。
文章标签：

#密码学 #算法

本文介绍了Barrett约减算法，一种优化单模数多约减操作的方法，通过将除法转换为移位、乘法和加减，减少计算时间。算法步骤包括选择基b、k，预计算μ，构造q^，以及对z进行特定的减法处理。文章还涉及正确性的数学推导。

Barrett reduction

约减概述

约减的定义(reduction):z(modp)z \pmod pz(modp)
优化约减的目的:取模操作的底层实现往往使用到的是除法，而除法操作往往是较为耗时的，因此需要把除法操作替换为不那么费时的其他操作。

Barrett 约减概述

单模数多约减：多个约减操作，其模数ppp是固定的，而zzz不同。
针对单模数多约减的情况，可以使用Barrett约减来进行优化操作。
Barrett约减算法的整体流程可以概括如下:
step 1.根据p，选定b和k，其中b代表的是基，满足b≥3b \ge 3b≥3,k=⌊logbp⌋+1k = \lfloor log_b^p \rfloor+1k=⌊logbp​⌋+1,0≤z0 \le z0≤z<b2k\lt b^{2k}<b2k。
step 2.预计算

最低0.47元/天 解锁文章
大数运算：Barrett And Montgomery
weixin_44885334的博客
11-20 2952
Barrett reduction Barrett Reduction，一种计算大数取模的算法。 使用ZZ上的移位来代替RR上的浮点除法。 当模数达到65536比特，运算速度是openssl.mod()openssl.mod()openssl.mod()的2倍。 #include <iostream> #include <chrono> #include <random> #include <chrono> #include <NTL/ZZ.h&g
快速幂 & 大数取模及例题(极其详细)
热门推荐
smallrain6的博客
02-02 1万+
首先，以杭电OJ的一道题引入话题 人见人爱A ^ B 接着，先给出取模的几个重要结论： (a * b) % p = (a % p * b) % p (a + b) % p = (a % p + b) % p (a + b) % p = (a % p + b % p) % p (a - b）% p = (a % p - b % p) % p (a * b）% p = (a % p * b % p) % p 对于最后一条性质，即多个因子连续的乘积取模的结果等于每个因子取模后的乘积再取模的结果 上题的要求也简
Barrett与Montgomery模乘算法
wxkhturfun的博客
01-05 6929
没有链接，只好选择原创了，侵删，论文：NTT处理器的研究与实现_宋鹏飞
barrett约减
weixin_39057744的博客
11-13 1488
#include<iostream> using namespace std; struct Barret { int p; int k; int u; int bk_1, bka1; Barret(int p) { this->p = p; k = (int)log2(p) + 1; u = (1<<(2*k))/p; bk_1 = 1 << (k - 1); bka1 = 1 << (k + 1); } int c.
Barrett reduction
kidding10086的博客
01-01 1106
Barrett reduction
barrett reduction实验设计
04-29
Barrett Reduction是一种用于大整数取模运算的优化算法，主要应用于需要高效计算模数的场景，比如密码学和数论计算。传统取模运算使用除法，而除法在计算上比较耗时，特别是对于非常大的整数。Barrett Reduction通过...
密码学与网络安全实验RSA 快速取模算法
01-11
快速取模算法通常包括欧几里得算法、扩展欧几里得算法（用于求最大公约数和模逆）以及巴特沃思-莫里斯-普雷斯顿（Barrett Reduction）算法。这些算法通过巧妙地减少计算量，使得大数的模运算能够在较短的时间内完成...
超大整数运算库支持除法优化的C/C++实现
四是结合 Barrett Reduction 或 Montgomery Reduction 等模运算优化技巧，提升整体除法与取模操作的效率。这些优化手段共同作用，使得该库在执行除法运算时相比朴素实现有显著的速度提升。 此外，考虑到C++语言的...
barrete约减
weixin_39057744的博客
10-11 486
证明方法，放缩法，主要利用四舍五入和向一舍入来进行适量缩放。
Barrett Reduction算法求模
hillman_yq的专栏
05-10 4609
Barrett Reduction is a method of reducing a number modulo another number. Barrett reduction, when used to reduce a single number, is slower than a normal divide algorithm. However, by precomputing som
大数取模
无知的我
07-09 1763
10.大数取模成绩: 10 / 折扣: 0.8背景计算如下公式的值：R = BP mod MB、P 和 M 都是很大的数字，速度要快，这可是有时间限制的！ 输入每组输入有三个很大的数字 B、P 和 M，B 和 P 的取值范围在 [0, 2147483647] 之间，而 M 的取值
HDU5690: All X（大数取模，同余）
weixin_34087503的博客
01-18 172
All X Time Limit: 2000/1000 MS (Java/Others)Memory Limit: 65536/65536 K (Java/Others) Total Submission(s): 1637Accepted Submission(s): 713 Problem Description F(x,m)代表一个全是...
Barrett reduction algorithm
amber_o0k的博客
01-27 171
某些rsa算法中会用到，核心原理通过乘法，减法和移位运算代替长除，提高大数取模的运算速度。
取模运算介绍
最新发布
06-13
<think>我们正在讨论取模运算的基本概念和用法。根据用户提供的引用和之前关于环形缓冲区的讨论，我们可以总结如下：1.引用[1]解释了“模”运算的基本概念：模运算就是求余数的运算。当模数为2时，称为模2运算。2.引用[2]提到了位运算可以加快程序性能，因为计算机内部使用二进制表示数据。3.引用[3]展示了取模运算在快速幂算法中的应用，用于防止溢出。结合用户之前关于环形缓冲区的问题，取模运算在循环数据结构中有关键作用。因此，我们组织回答如下：###取模运算的定义、原理及应用####一、基本定义**取模运算**（ModuloOperation）是求两个整数相除的余数的运算。数学上表示为：$$a\modb=r$$其中：-$a$是被除数-$b$是除数（模数）-$r$是余数，满足$0\leqr<|b|$例如：$$7\mod3=1\quad\text{（因为}7\div3=2\text{余}1\text{）}$$$$-7\mod3=2\quad\text{（不同语言可能处理负数不同）}$$>注意：取模运算和取余运算在负数处理上可能不同[^1]。在大多数编程语言中，取模运算的结果符号与除数一致，而取余运算的结果符号与被除数一致。####二、数学原理1.**同余关系**若$a\modb=r$，则称$a$与$r$在模$b$下同余，记作：$$a\equivr\pmod{b}$$例如：$13\equiv3\pmod{5}$（因为$13-3=10$可被$5$整除）。2.**运算性质**-**分配律**：$(a+b)\modm=[(a\modm)+(b\modm)]\modm$$(a\timesb)\modm=[(a\modm)\times(b\modm)]\modm$-**幂运算性质**：$a^k\modm=(a\modm)^k\modm$[^3]####三、计算机实现方式|编程语言|运算符|示例|负数处理规则||----------|--------|-------------------|--------------------------||C/C++|`%`|`-7%3=-1`|余数符号与被除数相同||Python|`%`|`-7%3=2`|余数符号与除数相同||Java|`%`|`-7%3=-1`|余数符号与被除数相同|>关键点：编程前需确认语言对负数的处理规则[^1]。####四、核心应用场景1.**循环数据结构**-环形缓冲区中指针回绕：`index=(index+1)%BUFFER_SIZE`当`BUFFER_SIZE`为2的幂时，可用位运算优化：`index=(index+1)&(BUFFER_SIZE-1)`[^2]2.**哈希函数**将任意大小数据映射到固定范围：$$\text{hash\_key}=\text{value}\mod\text{PRIME}$$选择质数作为模数可减少哈希冲突。3.**密码学算法**-RSA加密：$c=m^e\modn$-快速幂取模算法（防止中间结果溢出）[^3]：```pythondefpow_mod(base,exp,mod):result=1whileexp>0:ifexp&1:result=(result*base)%modbase=(base*base)%modexp>>=1returnresult```4.**时间计算**-时钟系统：24小时制转换`20:00+6小时=(20+6)mod24=2:00`-星期计算：已知今天周三，100天后是周几？`(3+100)mod7=103mod7=5`（星期五）5.**随机数生成**线性同余生成器（LCG）的核心公式：$$X_{n+1}=(aX_n+c)\modm$$####五、性能优化技巧1.**位运算替代**当模数$m$为2的幂时（$m=2^k$）：$$x\modm=x\And(m-1)$$例如：$x\mod8=x\And7$，效率比取模高5-10倍[^2]。2.**避免重复取模**在循环中累积计算时，可延迟取模：```c//优化前（每次迭代取模）for(inti=0;i<n;i++){sum=(sum+a[i])%mod;}//优化后（累积后一次性取模）for(inti=0;i<n;i++){sum+=a[i];}sum%=mod;```>注意：需确保累积过程不溢出整数范围。3.**巴雷特约简（BarrettReduction）**对大整数反复取模的优化算法，预处理模数的倒数减少除法次数。###常见问题解答**Q：取模和取余有什么区别？**A：当操作数为正数时两者相同；负数处理有差异：-取余：余数符号与被除数相同（如`-7rem3=-1`）-取模：余数符号与除数相同（如`-7mod3=2`）**Q：如何计算大整数的取模？**A：分治法结合取模性质：$$(a\times10^n+b)\modm=[(a\modm)\times(10^n\modm)+(b\modm)]\modm$$例如：计算`123456789mod97`可拆分为`(123456*1000+789)mod97`。---**相关问题**1.在密码学中，为什么快速幂取模算法比先计算幂再取模更高效？2.如何用取模运算实现一个循环队列？3.取模运算在分布式系统分片中有哪些应用？4.不同编程语言对负数取模的实现差异会导致哪些兼容性问题？</think>### 取模运算的定义、原理及应用 #### 一、基本定义 **取模运算**（Modulo Operation）是求两个整数相除的余数的运算。数学上表示为： $$ a \mod b = r $$ 其中： - $a$ 是被除数 - $b$ 是除数（模数） - $r$ 是余数，满足 $0 \leq r < |b|$ 例如： $$ 7 \mod 3 = 1 \quad \text{（因为 } 7 \div 3 = 2 \text{ 余 } 1\text{）} $$ $$ -7 \mod 3 = 2 \quad \text{（不同语言可能处理负数不同）} $$ > 注意：取模运算和取余运算在负数处理上可能不同[^1]。在大多数编程语言中，取模运算的结果符号与除数一致，而取余运算的结果符号与被除数一致。 #### 二、数学原理 1. **同余关系** 若 $a \mod b = r$，则称 $a$ 与 $r$ 在模 $b$ 下同余，记作： $$ a \equiv r \pmod{b} $$ 例如：$13 \equiv 3 \pmod{5}$（因为 $13-3=10$ 可被 $5$ 整除）。 2. **运算性质** - **分配律**： $(a + b) \mod m = [(a \mod m) + (b \mod m)] \mod m$ $(a \times b) \mod m = [(a \mod m) \times (b \mod m)] \mod m$ - **幂运算性质**： $a^k \mod m = (a \mod m)^k \mod m$[^3] #### 三、计算机实现方式 | 编程语言 | 运算符 | 示例 | 负数处理规则 | |----------|--------|-------------------|--------------------------| | C/C++ | `%` | `-7 % 3 = -1` | 余数符号与被除数相同 | | Python | `%` | `-7 % 3 = 2` | 余数符号与除数相同 | | Java | `%` | `-7 % 3 = -1` | 余数符号与被除数相同 | > 关键点：编程前需确认语言对负数的处理规则[^1]。 #### 四、核心应用场景 1. **循环数据结构** - 环形缓冲区中指针回绕： `index = (index + 1) % BUFFER_SIZE` 当`BUFFER_SIZE`为2的幂时，可用位运算优化： `index = (index + 1) & (BUFFER_SIZE - 1)`[^2] 2. **哈希函数** 将任意大小数据映射到固定范围： $$ \text{hash\_key} = \text{value} \mod \text{PRIME} $$ 选择质数作为模数可减少哈希冲突。 3. **密码学算法** - RSA加密：$ c = m^e \mod n $ - 快速幂取模算法（防止中间结果溢出）[^3]： ```python def pow_mod(base, exp, mod): result = 1 while exp > 0: if exp & 1: result = (result * base) % mod base = (base * base) % mod exp >>= 1 return result ``` 4. **时间计算** - 时钟系统：24小时制转换 `20:00 + 6小时 = (20 + 6) mod 24 = 2:00` - 星期计算：已知今天周三，100天后是周几？ `(3 + 100) mod 7 = 103 mod 7 = 5`（星期五） 5. **随机数生成** 线性同余生成器（LCG）的核心公式： $$ X_{n+1} = (aX_n + c) \mod m $$ #### 五、性能优化技巧 1. **位运算替代** 当模数 $m$ 为 2 的幂时（$m=2^k$）： $$ x \mod m = x \And (m - 1) $$ 例如：$x \mod 8 = x \And 7$，效率比取模高5-10倍[^2]。 2. **避免重复取模** 在循环中累积计算时，可延迟取模： ```c // 优化前（每次迭代取模） for (int i=0; i<n; i++) { sum = (sum + a[i]) % mod; } // 优化后（累积后一次性取模） for (int i=0; i<n; i++) { sum += a[i]; } sum %= mod; ``` > 注意：需确保累积过程不溢出整数范围。 3. **巴雷特约简（Barrett Reduction）** 对大整数反复取模的优化算法，预处理模数的倒数减少除法次数。 ### 常见问题解答 **Q：取模和取余有什么区别？** A：当操作数为正数时两者相同；负数处理有差异： - 取余：余数符号与被除数相同（如 `-7 rem 3 = -1`） - 取模：余数符号与除数相同（如 `-7 mod 3 = 2`） **Q：如何计算大整数的取模？** A：分治法结合取模性质： $$ (a \times 10^n + b) \mod m = [(a \mod m) \times (10^n \mod m) + (b \mod m)] \mod m $$ 例如：计算 `123456789 mod 97` 可拆分为 `(123456 * 1000 + 789) mod 97`。 --- **相关问题** 1. 在密码学中，为什么快速幂取模算法比先计算幂再取模更高效？ 2. 如何用取模运算实现一个循环队列？ 3. 取模运算在分布式系统分片中有哪些应用？ 4. 不同编程语言对负数取模的实现差异会导致哪些兼容性问题？
评论
成就一亿技术人!
拼手气红包6.0元
还能输入1000个字符
 
红包 添加红包
表情包 插入表情
表情包 代码片
 条评论被折叠 查看
添加红包

请填写红包祝福语或标题

个

红包个数最小为10个

元

红包金额最低5元

当前余额3.43元 前往充值 >
需支付：10.00元
成就一亿技术人!
领取后你会自动成为博主和红包主的粉丝 规则
hope_wisdom
发出的红包
实付元
使用余额支付
点击重新获取
扫码支付
钱包余额 0

抵扣说明：

1.余额是钱包充值的虚拟货币，按照1:1的比例进行支付金额的抵扣。
2.余额无法直接购买下载，可以购买VIP、付费专栏及课程。

余额充值