2019牛客暑期多校训练营（第一场）E.ABBA(带限制条件的非降路径)

题意

输入$n$，$m$，问有多少种长度为$2(n+m)$的串可以拆成$n$个$AB$子序列和$m$个$BA$子序列

思路

对于某一个串，最终的条件是让其达到有$n+m$个$A$和$n+m$个$B$，那么我们可以认为是一步一步的去给这个串添加上$A$或者$B$，直到有$n+m$个$A$和$n+m$个$B$，然后就可以转化为在网格中选取路径选$B$表示向上，选$A$表示向右，即从$(0,0)$点达到$(n+m,n+m)$点有多少方案数。
例如$BABABA$

但是这道题的串并不是任意的串，他需要使原串能拆成$n$个$AB$子序列，和$m$个$BA$子序列。对于这样的串我们要让他满足什么条件呢。对于已经构造出$n$个$AB$的串来说，接下来要怎么填$A$和$B$呢，考虑$A$的数量都是从哪里来的呢，首先$A$是从$AB$中的$A$所来的，那么就有$n$个$A$是从$AB$中来的，在考虑另一部分。为了满足题意的构造另一部分的$A$肯定是来自于$BA$中的$A$，这个时候有多少个$A$呢答案就是$B$的数量，所以就有$A\le n+B$，同理$B$也是先从$BA$中来再从$AB$中来，所以也有$B\le A+m$，故
$$\{\begin{array}{c}A\le n+B\\ \\ B\le A+m\end{array}$$
$A$用$x$替换，$B$用$y$替换，有
$$\{\begin{array}{c}y\ge x-n\\ \\ y\le x+m\end{array}$$
由于都是整点，可以认为是路径不经过两条直线
$$\{\begin{array}{c}y=x-n-1\\ \\ y=x+m+1\end{array}$$

根据$(0,0)$到$(n+m,n+m)$的非降路径方案数为$C_{2(n+m)}^{n+m}$。
有(0,0)到(n,m)不经过$y=x+k$的非降路径为
$$C_{n+m}^n-C_{n+m}^{n-|k|}$$
所以带入上面两条直线可知有答案为
$$C_{2(n+m)}^{n+m}-C_{2(n+m)}^{n+m-(m+1)}$$
和
$$C_{2(n+m)}^{n+m}-C_{2(n+m)}^{n+m-(n+1)}$$
由于这两条直线平行，而且并没有某一条路径可以又经过$y=x-n-1$然后再经过$y=x+m+1$所以可以直接合并两次的差，所以答案就是
$$C_{2(n+m)}^{n+m}-C_{2(n+m)}^{n-1}-C_{2(n+m)}^{m-1}$$

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=4e3+5;
const int mod=1e9+7;
long long C[N][N];
void init()
{
    for(int i=0;i<N;i++)
    {
        C[i][0]=1;
        C[i][i]=1;
    }
    for(int i=0;i<N;i++)
    {
        for(int j=1;j<i;j++)
            C[i][j]=(C[i-1][j]+C[i-1][j-1])%mod;
    }
}
int main()
{
    init();
    int n,m;
    while(scanf("%d%d",&n,&m)!=EOF)
    {
        printf("%lld\n",(C[2*m+2*n][n+m]-(C[2*m+2*n][n-1]+C[2*m+2*n][m-1])%mod+mod)%mod);
    }
    return 0;
}