2019牛客暑期多校训练营(第一场)A.Equivalent Prefixes

本文介绍如何利用单调栈解决两个数组中相同区间最小值位置的问题。通过构造单调栈找到每个元素左侧最近的小元素,从而判断两个数组在相同区间内的最小值位置是否一致。

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A.Equivalent Prefixes

https://ac.nowcoder.com/acm/contest/881/A

题意:

两个长度为n的数组A和B,求最大的m,使得1到m之内的所有区间的最小值位置相同。

思路:

因为使用了单调栈,所以明确一下单调栈作用是什么。

单调栈:记录每个值的左边第一个比当前值小的位置。

单调栈的一大优势就是线性的时间复杂度,所有的元素只会进栈一次,而且一旦出栈后就不会再进来了。

单调递增栈可以找到左起第一个比当前数字小的元素。比如数组 [2 1 4 6 5],刚开始2入栈,数字1入栈的时候,发现栈顶元素2比较大,将2移出栈,此时1入栈。那么2和1都没左起比自身小的数字。然后数字4入栈的时候,栈顶元素1小于4,于是1就是4左起第一个小的数字。此时栈里有1和4,然后数字6入栈的时候,栈顶元素4小于6,于是4就是6左起第一个小的数字。此时栈里有1,4,6,然后数字5入栈的时候,栈顶元素6大于5,将6移除,此时新的栈顶元素4小于5,那么4就是5左起的第一个小的数字,最终栈内数字为 1,4,5。

从左到右遍历一遍,记录下第一个单调栈结果不同的地方,该位置前一个位置就是答案。

下面给予简单证明:

如果你确认了位置i是正确的,并且单调栈记录的位置是pos,那么(pos,i),(pos+1,i)... (i,i)都是符合条件的。
如果pos左侧的值都比pos处的值要大,那么显而易见,(1,i),(2,i),...,(pos-1,i)也是符合题意的。
如果pos左侧的值有比pos处的值小的,那么从右边数,第一个比pos小的值的位置pos2,对于两个数组,也一定相等,(因为之前已经检测过pos了,不然也不会走到i)
那么(pos2+1,i),(pos2+2,i)...(pos-1,i)也是符合题意的。
再从pos2开始考虑,用类似递归的思想,很容易明白,(1,i),(2,i),...,(pos-1,i)都是符合题意的。
这是右端点是i的情况,但是因为i从左向右遍历,所以之前的所有区间其实都已经检测过了。

再考虑不相等的情况:
如果在位置i,第一个数组从右向左的第一个位置为pos1,第二个是pos2,且pos1<pos2
那么对于第一个数组,(pos2,i)的最小值位置是i,对于第一个数组,(pos2,i)的最小值位置是pos2,显然不同。

证明来自:http://www.manongjc.com/detail/8-szmegimpjimowzk.html

代码:

#include<cmath>
#include<stack>
#include<map>
#include<queue>
#include<cstdio>
#include<vector>
#include<cstring>
#include <iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;
typedef long long ll;
typedef unsigned long long ull;
const int Max = 1e5+10;

int a[Max],b[Max];
struct node{
	int id,v;
}s[Max];
int nn = 5;
void solve(int* c, int* L) {
    int top = 0;
    s[0] = node{0, 0};
    for(int i = 1; i <= nn; i++) {
        /*找到向左走第一个比它小的数*/
        while(top && s[top].v >= c[i]) top--;
        L[i] = s[top].id;
        s[++top] = node{i, c[i]};
    }
}
int main(){
	ios::sync_with_stdio(false);
	while(cin>>nn){
		int n1[Max] = {0},n2[Max] = {0};
		for(int i =1; i <= nn; i++) cin>>a[i];
		for(int i =1; i <= nn; i++) cin>>b[i];
		solve(a,n1);
  		solve(b,n2);
  		int ans=nn ;
  		for(int i = 1 ; i <= nn; i++){
  			if(n1[i] != n2[i]){
  				ans = i-1;
			    break;
			}	
		}
		cout<<ans<<"\n";
	}

  	
    return 0;
}
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